Estude a posição relativa entre:
as retas r: x=\frac{y+3}{2}=-z e s: X=(1,4,0)+t(-3,-6,3)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas r\colon x=\frac{y+3}{2}=-z
e s\colon X=(1,4,0)+t(-3,-6,3).
O conteúdo é estudo de retas no espaço: representamos cada reta em forma paramétrica, extraímos um ponto e um vetor diretor e comparamos as direções (proporcionalidade) e investigamos se há interseção (testando se o ponto de uma pertence à outra).

Passo 2

Vamos escrever r em forma paramétrica. Seja \lambda o parâmetro comum a
x = \lambda,\quad \frac{y+3}{2} = \lambda,\quad -z=\lambda.
Dessa forma
y+3=2\lambda\implies y=2\lambda-3, \qquad z=-\lambda.
Logo
r\colon (x,y,z)=(\lambda,\;2\lambda-3,\;-\,\lambda) =(0,-3,0)+\lambda\,(1,2,-1).
Um ponto em r é A=(0,-3,0) e seu vetor diretor é \vec v_r=(1,2,-1).

Passo 3

Na reta s já temos ponto e vetor diretor explícitos:
s\colon X=(1,4,0)+t\,(-3,-6,3).
Um ponto em s é B=(1,4,0) e seu vetor diretor é \vec v_s=(-3,-6,3).

Passo 4

Comparamos os vetores diretores:
\vec v_s =(-3,-6,3) = -3\,(1,2,-1) = -3\,\vec v_r.
Como \vec v_s é múltiplo de \vec v_r, as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 5

Para decidir se são coincidentes ou paralelas distintas, verificamos se B está em r. Procuramos \lambda tal que
(\lambda,2\lambda-3,-\lambda)=(1,4,0).
Da primeira coordenada vem \lambda=1. Então a segunda exigiria 2\cdot1-3=4, ou seja -1=4, o que é impossível. Logo B\notin r.

Resposta

As retas r e s são paralelas distintas (são paralelas e não se intersectam).

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