Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
I: X=(8,1,9)+lambda(2,-1,3)
s:l2 x-y+7=0 x+y-6 z+2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r em forma paramétrica
X=(8,1,9)+lambda,(2,-1,3)
e a reta s como interseção de dois planos
2x - y + 7 = 0,
x + y - 6z + 2 = 0
O conteúdo aqui é posição relativa de retas no espaço, e vamos usar vetores diretores, teste de paralelismo e verificar se há ponto de interseção.

Passo 2

Para r, o vetor diretor é
vr = (2,-1,3)
Para s, cada plano tem normal n1=(2,-1,0) e n2=(1,1,-6). O vetor diretor de s é dado pelo produto vetorial vs = n1 times n2. Calculando:
vs = det i & j & k 2 & -1 & 0 1 & 1 & -6 = (6,12,3) Longrightarrow vs=(2,4,1)

Passo 3

Para checar paralelismo, buscamos k tal que vr = k, vs. Teríamos
2 = 2k, -1 = 4k,
o que daria k=1 e k=-tfrac14, um conflito. Logo, vr e vs não são proporcionais e as retas não são paralelas.

Passo 4

Para ver se há interseção, usamos o ponto genérico de r,
(x,y,z) = (8+2lambda,,1-lambda,,9+3lambda),
e impomos as equações de s. Na primeira:
2(8+2lambda)-(1-lambda)+7=0 ;Longrightarrow; 22+5lambda=0 ;Longrightarrow; lambda=-tfrac225
Na segunda:
(8+2lambda)+(1-lambda)-6(9+3lambda)+2=0 ;Longrightarrow; -43-17lambda=0 ;Longrightarrow; lambda=-tfrac4317
Como não existe um lambda comum, não há ponto de interseção.

Resposta

As retas r e s são reversas (não paralelas e sem ponto em comum).

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