Seja um conjunto LI de vetores no , e sejam e vetores definidos por: e . Decida se o conjunto é LI.
Passo 1
O enunciado trata de independência linear em . Temos o conjunto linearmente independente e definimos , e .
Para decidir se é LI, vamos considerar uma combinação linear nula e mostrar que só existe a solução trivial.
Passo 2
Sejam tais que
Substituindo as definições de , temos
Passo 3
Agrupando os termos em , obtemos
Como é LI, cada coeficiente deve ser zero, daí surge o sistema
Passo 4
Da segunda equação segue beta=alpha. Da terceira, gamma=-beta=-alpha. Substituindo na primeira,
alpha-2(-alpha)=3alpha=0
logo alpha=0, e portanto beta=0 e gamma=0. Como a única solução é a trivial, concluímos que u1,u2,u3 é LI.