Seja v1, v2, v3 um conjunto LI de vetores no R^n, e sejam u1, u2 e u3 vetores definidos por: u1=v1-v2, u2=v2+v3 e u3=v3-2 v1. Decida se o conjunto u1, u2, u3 é LI.

Passo 1

O enunciado trata de independência linear em R^n. Temos o conjunto v1,v2,v3 linearmente independente e definimos
u1=v1-v2,
u2=v2+v3 e
u3=v3-2v1.
Para decidir se u1,u2,u3 é LI, vamos considerar uma combinação linear nula e mostrar que só existe a solução trivial.

Passo 2

Sejam alpha,beta,gammainR tais que
alpha,u1+beta,u2+gamma,u3=0
Substituindo as definições de ui, temos
alpha(v1-v2) +beta(v2+v3) +gamma(v3-2v1) =0

Passo 3

Agrupando os termos em v1,v2,v3, obtemos
(alpha-2gamma),v1 +(-alpha+beta),v2 +(beta+gamma),v3 =0
Como v1,v2,v3 é LI, cada coeficiente deve ser zero, daí surge o sistema
alpha-2gamma=0, -alpha+beta=0, beta+gamma=0

Passo 4

Da segunda equação segue beta=alpha. Da terceira, gamma=-beta=-alpha. Substituindo na primeira,
alpha-2(-alpha)=3alpha=0
logo alpha=0, e portanto beta=0 e gamma=0. Como a única solução é a trivial, concluímos que u1,u2,u3 é LI.

Resposta

O conjunto u1,u2,u3 é linearmente independente.

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