Estude a posição relativa das retas r e s nos casos abaixo:
r:lx=1-lambda y=2+2 lambda z=1+lambda (lambda in R) s:lx=1-12 mu y=2+mu z=1+12 mu (mu in R)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas r e s definidas por parâmetros em R^3. Esse conteúdo pertence à geometria analítica no espaço e envolve determinar se as retas são paralelas, coincidentes ou concorrentes. Para isso, vamos extrair, em cada caso, um ponto de referência e o vetor diretor de cada reta.

Passo 2

Para a reta r temos
x=1-lambda, y=2+2lambda, z=1+lambda,
logo um ponto em r é
A=(1,2,1)
(obtido em lambda=0), e o vetor diretor é
vr=(-1,2,1)
Para a reta s temos
x=1-tfrac12mu, y=2+mu, z=1+tfrac12mu,
logo um ponto em s é
B=(1,2,1)
(em mu=0), e o vetor diretor é
vs=l(-tfrac12,1,tfrac12r)

Passo 3

Verificamos se vr e vs são colineares, ou seja, se existe escalar k tal que
vs = k,vr
Note que
l(-tfrac12,1,tfrac12r) =tfrac12,(-1,2,1),
portanto
vs=tfrac12,vr,
o que implica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Como vr e vs são colineares, vamos checar se as retas compartilham algum ponto. Vimos que
A=B=(1,2,1)
pertence a ambas as retas, pois basta tomar lambda=0 em r e mu=0 em s. Logo há interseção não só em um ponto isolado.

Passo 5

Quando duas retas no espaço têm vetores colineares e ainda têm pelo menos um ponto em comum, elas coincidem completamente. De fato, para qualquer lambda em r basta escolher mu=2lambda em s para obter o mesmo ponto.

Resposta

As retas r e s coincidem.

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