Quais dos seguintes conjuntos de matrizes são ortonormais em relação ao produto interno cuclidiano de M23 (a) [ll1 & 0 0 & 0], [rr0 & 23 13 & -23], [rr0 & 23 -23 & 13], [ll0 & 13 23 & 23]
(b) [ll1 & 0 0 & 0], [ll0 & 1 0 & 0], [ll0 & 0 1 & 1], [rr0 & 0 1 & -1]

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois conjuntos de quatro matrizes em e queremos saber quais deles são ortonormais no produto interno de Frobenius, definido por
Um conjunto é ortonormal se cada matriz tem norma unitaria

e são todas mutuamente ortogonais, ou seja, para vale
.

Passo 2

Analisando o conjunto (a), definimos
A1 = 1&00&0, A2 = 0&tfrac23[4pt]tfrac13&-tfrac23, A3 = 0&tfrac23[4pt]-tfrac23&tfrac13, A4 = 0&tfrac13[4pt]tfrac23&tfrac23
Para cada k=1,dots,4 calculamos a norma de Frobenius:
|A1|^2 = 1^2 = 1, |A2|^2 = l(tfrac23r)^2 + l(tfrac13r)^2 + l(-tfrac23r)^2 = tfrac4+1+49 = 1,
e de modo análogo |A3|^2=1, |A4|^2=1.
Em seguida, para ineq j verificamos
lang<= Ai,Ajrang<= = summ,n(Ai)mn(Aj)mn = 0
porque cada produto de entradas ou é zero ou se anula em pares. Logo todas as matrizes têm norma 1 e são mutuamente ortogonais, isto é, o conjunto (a) é ortonormal.]

Passo 3

No conjunto (b) definimos
B1 = 1&00&0, B2 = 0&10&0, B3 = 0&01&1, B4 = 0&01&-1
Aqui
|B1|^2 = 1, |B2|^2 = 1, |B3|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 neq 1, |B4|^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2 neq 1
Como B3 e B4 não têm norma unitária, o conjunto (b) não pode ser ortonormal (mesmo sendo ortogonal).

Resposta

(a) apenas.

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