Suponha que R^4 tem o produto intemo euclidiano. Use 0 processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3, u4 em uma base ortonormal.
u1=(0,2,1,0), u2=(1,-1,0,0), u3=(1,2,0,-1), u4=(1,0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a base u1,u2,u3,u4subsetR^4 em uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt.
O produto interno é o usual em R^4:
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4
A ideia é definir vetores v1,v2,v3,v4 por
v1 = u1, vk = uk - sumj=1^k-1lang<= uk,ejrang<=,ej (k=2,3,4),
e depois normalizar ek = vk/|vk|.

Passo 2

Calcular v1 e e1.
Temos
u1 = (0,2,1,0), v1 = u1, |v1| = raiz0^2+2^2+1^2+0^2 = raiz5
Logo
e1 = v1|v1| = 1raiz5,(0,2,1,0)

Passo 3

Calcular v2 e e2.
Temos
u2 = (1,-1,0,0), lang<= u2,e1rang<= = u2cdot u1|u1| = -2raiz5
Portanto
v2 = u2 - lang<= u2,e1rang<=,e1 = (1,-1,0,0) + 2raiz5;1raiz5,(0,2,1,0) = l(1,-tfrac15,tfrac25,0r)
Em seguida
|v2| = raiz1^2+l(-tfrac15r)^2+l(tfrac25r)^2 = raiztfrac65,
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e2 = v2|v2| = 1raiz6/5l(1,-tfrac15,tfrac25,0r)

Passo 4

Calcular v3 e e3.
Temos
u3 = (1,2,0,-1), lang<= u3,e1rang<= = 4raiz5, lang<= u3,e2rang<= = u3cdot v2|v2| = 3/5raiz6/5 = 3raiz55raiz6
Então
v3 = u3 - 4raiz5,e1 - 3raiz55raiz6,e2 = l(tfrac12,tfrac12,-1,-1r)
O comprimento é
|v3| = raizl(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiztfrac52,
portanto
e3 = v3|v3| = 1raiz5/2l(tfrac12,tfrac12,-1,-1r)

Passo 5

Calcular v4 e e4.
Temos
u4 = (1,0,0,1), lang<= u4,e1rang<= = 0, lang<= u4,e2rang<= = raiztfrac56, lang<= u4,e3rang<= = -12,1raiz5/2
Subtraindo as projeções, obtém-se
v4 = l(tfrac415,tfrac415,-tfrac815,tfrac1215r), |v4| = 4raiz15,
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e4 = v4|v4| = 14/raiz15l(tfrac415,tfrac415,-tfrac815,tfrac1215r) = l(tfracraiz1515,,tfracraiz1515,,-tfrac2raiz1515,,tfracraiz155r)

Resposta

Uma base ortonormal resultante é
e1 = 1raiz5(0,2,1,0), e2 = 1raiz6/5l(1,-tfrac15,tfrac25,0r), e3 = 1raiz5/2l(tfrac12,tfrac12,-1,-1r), e4 = l(tfracraiz1515,,tfracraiz1515,,-tfrac2raiz1515,,tfracraiz155r)

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