Estude a posição relativa das retas r e S nos seguintes casos:
r: x+12=y=z e lx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a posição relativa de duas retas no espaço, ou seja, verificar se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. O conteúdo é geometria analítica em R³ e vamos precisar: obter a forma paramétrica de cada reta, extrair um ponto e seu vetor diretor, usar o critério de colinearidade de vetores para paralelismo e resolver equações para checar interseção.

Passo 2

Começo transformando a reta r na forma paramétrica. A reta está dada por x+12=y=z. Chamo esse valor de parâmetro t. Então
[“x+1=2t => x=2t-1”,“y=t”,“z=t”]
Logo, em forma vetorial:
r: (x,y,z)=(-1,0,0)+t,(2,1,1)
Dessa forma, o ponto A=(-1,0,0) pertence a r e seu vetor diretor é dr=(2,1,1).

Passo 3

Agora a reta s é a interseção de dois planos:
x+y-3z=12x-y-2z=0
Para achar a forma paramétrica, escolho z=t e resolvo:
[“x+y=1+3t”,“2x-y=2t”]
Da segunda equação vem y=2x-2t. Substituindo na primeira:
[“x+(2x-2t)=1+3t => 3x=1+5t => x=\frac{1+5t}{3}”,“y=2\frac{1+5t}{3}-2t=\frac{2+4t}{3}”]
Logo
s: (x,y,z)=l(tfrac13,tfrac23,0r)+t,l(tfrac53,tfrac43,1r)
Multiplico o vetor diretor por 3 para ficar inteiro: ponto B=(tfrac13,tfrac23,0) e ds=(5,4,3).

Passo 4

Para ver se são paralelas, comparo dr=(2,1,1) e ds=(5,4,3). Fazendo proporções:
[“2/5=0.4”,“1/4=0.25”,“1/3≈0.33”]
Elas não são todas iguais, logo os vetores não são colineares. As retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 5

Como não são paralelas, posso checar se se intersectam igualando as formas paramétricas:
["-1+2t_1 = 1/3+5t_2/3",“t_1 = 2/3+4t_2/3”,“t_1 = t_2”]
Da terceira equação vem t2=t1. Substituindo na segunda:
[“t_1=2/3+4t_1/3 => 3t_1=2+4t_1 => t_1=-2”]
Então t2=-2. Na primeira equação, o lado esquerdo dá -1+2(-2)=-5 e o direito 1/3+5(-2)/3=-3. Como -5neq-3, não há solução simultânea.
Concluímos que as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.

Resposta

As retas r e s são reversas (nem paralelas nem concorrentes).

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