Estude a posição relativa das retas
e
nos seguintes casos:
e
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a posição relativa de duas retas no espaço, ou seja, verificar se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. O conteúdo é geometria analítica em R³ e vamos precisar: obter a forma paramétrica de cada reta, extrair um ponto e seu vetor diretor, usar o critério de colinearidade de vetores para paralelismo e resolver equações para checar interseção.
Passo 2
Começo transformando a reta r na forma paramétrica. A reta está dada por
. Chamo esse valor de parâmetro
. Então
[“x+1=2t => x=2t-1”,“y=t”,“z=t”]
Logo, em forma vetorial:
[“x+1=2t => x=2t-1”,“y=t”,“z=t”]
Logo, em forma vetorial:
Dessa forma, o ponto
Passo 3
Agora a reta s é a interseção de dois planos:
Para achar a forma paramétrica, escolho
[“x+y=1+3t”,“2x-y=2t”]
Da segunda equação vem
[“x+(2x-2t)=1+3t => 3x=1+5t => x=\frac{1+5t}{3}”,“y=2\frac{1+5t}{3}-2t=\frac{2+4t}{3}”]
Logo
Multiplico o vetor diretor por 3 para ficar inteiro: ponto
e
.
Passo 4
Para ver se são paralelas, comparo
e
. Fazendo proporções:
[“2/5=0.4”,“1/4=0.25”,“1/3≈0.33”]
Elas não são todas iguais, logo os vetores não são colineares. As retas não são paralelas nem coincidentes.
[“2/5=0.4”,“1/4=0.25”,“1/3≈0.33”]
Elas não são todas iguais, logo os vetores não são colineares. As retas não são paralelas nem coincidentes.
Passo 5
Como não são paralelas, posso checar se se intersectam igualando as formas paramétricas:
["-1+2t_1 = 1/3+5t_2/3",“t_1 = 2/3+4t_2/3”,“t_1 = t_2”]
Da terceira equação vem . Substituindo na segunda:
[“t_1=2/3+4t_1/3 => 3t_1=2+4t_1 => t_1=-2”]
Então . Na primeira equação, o lado esquerdo dá
e o direito
. Como
, não há solução simultânea.
Concluímos que as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.
["-1+2t_1 = 1/3+5t_2/3",“t_1 = 2/3+4t_2/3”,“t_1 = t_2”]
Da terceira equação vem
[“t_1=2/3+4t_1/3 => 3t_1=2+4t_1 => t_1=-2”]
Então
Concluímos que as retas não se intersectam e não são paralelas, ou seja, são reversas.
Resposta
As retas r e s são reversas (nem paralelas nem concorrentes).