Questão 08: Considere os vetores l1 2 0 e l2 3 0. Responda às questões abaixo:
a) Estes vetores são linearmente independentes?
Solução: Sim. Para obter o vetor nulo 03, alpha1=alpha2=0.
b) Eles formam uma base para um espaço V ? Qual espaço eles geram?
Solução: Sim. Formam um plano em R^3
c) Qual a dimensão do espaço gerado?
Solução: Dimensão igual a 2, pois a cardinalidade da base é igual a 2.
d) Quais matrizes A possuem V como espaço coluna?
Solução: Todas as matrizes A^3 times n, com rank(A)=2.
d) Descreva todos os vetores v3 que completam a base para R^3.
Solução: Todo vetor la b c, com c neq 0 é um vetor que completa a base para R^3.

Passo 1

O enunciado pede para analisar dois vetores em R^3: verificar independência linear, identificar o espaço que eles geram, calcular sua dimensão, caracterizar todas as matrizes cuja coluna-éspaco é esse espaço e achar todos os vetores que completam a base para R^3. O conteúdo envolve independência linear, espaço gerado (span), dimensão e espaço coluna de matriz.

Passo 2

Para testar se v1 e v2 são linearmente independentes, montamos alpha1v1+alpha2v2=03, ou seja:
alpha1+2alpha2=0,2alpha1+3alpha2=0,0=0
Da primeira equação alpha1=-2alpha2. Substituindo na segunda:
2(-2alpha2)+3alpha2=-4alpha2+3alpha2=-alpha2=0\
Logo alpha2=0 e alpha1=0. Só a solução trivial existe, então são independentes.

Passo 3

Como são dois vetores independentes em R^3, eles formam uma base do subespaço que geram, isto é
V=spanv1,v2,
um plano passando pela origem no R^3.

Passo 4

A dimensão de V é o número de vetores da base, logo
dim(V)=2

Passo 5

O espaço coluna de uma matriz AinR^3times n é o span de suas colunas. Para que esse espaço coluna seja exatamente V, basta que as colunas de A estejam em V e que rank(A)=2.

Passo 6

Para completar v1,v2 em uma base de R^3, escolhemos v3=[a b c]^T que não pertença ao plano V. Calcula-se
det[,v1;v2;v3,]=det1&2&a2&3&b0&0&c=c,(1cdot3-2cdot2)=-c
Para isso ser não nulo, é preciso cneq0. Portanto qualquer v3=[a b c]^T com cneq0 completa a base.

Passo 7

Resposta

a) Sim, são linearmente independentes porque a única combinação que gera o vetor nulo é trivial. b) Sim, formam base do espaço V=spanv1,v2, que é um plano em R^3. c) dim(V)=2. d) Todas as matrizes AinR^3times n cujo espaço coluna é V são aquelas com rank(A)=2 e cujas colunas estão em spanv1,v2. e) Todo vetor v3=[a b c]^T com cneq0 faz com que v1,v2,v3 seja base de R^3.

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