Exercício 7. Sejam
vetores e
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá um vetor
num espaço vetorial sobre
e escalares
, e pede para mostrar que
Para isso vamos usar dois axiomas básicos de espaços vetoriais:
- Distributividade da soma de escalares sobre multiplicação por vetor:
- Unicidade do inverso aditivo no espaço vetorial, junto com a propriedade de que
.
Passo 2
Reescrevemos
como uma soma de escalares usando o inverso aditivo de
:
Aplicando a distributividade da soma de escalares sobre
, obtemos
Passo 3
Mostramos que
é o mesmo que
. Note que
Por definição de inverso aditivo em espaço vetorial, o único vetor que somado a
dá
é
. Logo
Passo 4
Substituindo no resultado do Passo 2, temos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.