Estude quanto a convergência, as séries a seguir descrevendo o critério utilizado para o estudo.
sumn=0^infty 2 e^ne^n+2 n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão quer que a gente estude a convergência da série:
sumn=0^infty 2 e^ne^n+2 n
Estamos lidando com séries numéricas, que são somas infinitas de termos. Para descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor finito) ou diverge (soma para infinito ou não se estabiliza), vamos usar alguns critérios de convergência. Vamos precisar entender o Teste da divergência, que é um bom ponto de partida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a expressão dentro da soma:
an = 2 e^ne^n+2 n
Para entender o comportamento da série quando n cresce, vamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de an quando n vai para o infinito:
limn to infty 2 e^ne^n+2 n
Observando o numerador e o denominador:
  • Numerador: 2 e^n cresce de forma exponencial.
  • Denominador: e^n + 2n também é dominado por e^n , já que 2n cresce linearmente, que é muito mais lento comparado ao crescimento exponencial de e^n .
Então, podemos simplificar o limite dividindo o numerador e o denominador por e^n :
limn to infty 21 + 2ne^n
Sabemos que 2ne^n tende a zero quando n vai para infinito, porque e^n cresce muito mais rápido que n .
Então, o limite fica:
limn to infty 21 + 0 = 2

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral an quando n tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
No nosso caso, encontramos que:
limn to infty an = 2 neq 0

Resposta

Como o limite do termo geral não é zero, a série
sumn=0^infty 2 e^ne^n+2 n
diverge pela aplicação do Teste da Divergência.

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