Estude quanto a convergência, as séries a seguir descrevendo o critério utilizado para o estudo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão quer que a gente estude a convergência da série:
Estamos lidando com séries numéricas, que são somas infinitas de termos. Para descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um certo valor finito) ou diverge (soma para infinito ou não se estabiliza), vamos usar alguns critérios de convergência. Vamos precisar entender o Teste da divergência, que é um bom ponto de partida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a expressão dentro da soma:
Para entender o comportamento da série quando
cresce, vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Observando o numerador e o denominador:
- Numerador:
cresce de forma exponencial. - Denominador:
também é dominado por , já que cresce linearmente, que é muito mais lento comparado ao crescimento exponencial de .
Então, podemos simplificar o limite dividindo o numerador e o denominador por
:
Sabemos que
tende a zero quando
vai para infinito, porque
cresce muito mais rápido que
.
Então, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
No nosso caso, encontramos que:
Resposta
Como o limite do termo geral não é zero, a série
diverge pela aplicação do Teste da Divergência.