estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza (convergência) e calcular a soma da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
O conteúdo envolve séries numéricas de termos positivos, teste de comparação com p-séries e soma por telescopia via frações parciais.

Passo 2

Para a natureza, note que, para n grande,
n(n+1)(n+2)\sim n^3,
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\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=O\!\bigl(\tfrac1{n^3}\bigr).
Como a série \sum 1/n^3 converge p=3>1, nossa série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Para calcular a soma, fazemos frações parciais. Podemos usar o fato conhecido:
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr).
Isso reescreve cada termo de forma telescópica.

Passo 4

Definindo a soma parcial \displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}, temos
S_{N} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr).
Esse somatório telescopa: quase todos os termos se cancelam, sobrando
S_{N} =\frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr) =\frac14-\frac{1}{2(N+1)(N+2)}.
Fazendo N\to\infty, o segundo termo vai a zero, e ficamos com a soma desejada.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac14.

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