estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza (convergência) e calcular a soma da série
.
O conteúdo envolve séries numéricas de termos positivos, teste de comparação com -séries e soma por telescopia via frações parciais.
O conteúdo envolve séries numéricas de termos positivos, teste de comparação com
Passo 2
Para a natureza, note que, para
grande,
logo
Como a série
converge
, nossa série converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
Para calcular a soma, fazemos frações parciais. Podemos usar o fato conhecido:
Isso reescreve cada termo de forma telescópica.
Passo 4
Definindo a soma parcial
, temos
Esse somatório telescopa: quase todos os termos se cancelam, sobrando
Fazendo
, o segundo termo vai a zero, e ficamos com a soma desejada.
Resposta
A série converge e