estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza e, se possível, calcular a soma da série infinita
onde
. Vamos usar o conceito de série geométrica, cujo termo geral é
, e cujo critério de convergência e soma conhecida são fundamentais aqui.
Passo 2
Reconhecemos que a série é geométrica de razão
Para uma série geométrica
convergir, é necessário e suficiente que
. Logo, a nossa converge se e somente se
Passo 3
Quando
, a soma da série geométrica é dada pela fórmula
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Se
, os termos
não tendem a zero (quando
são sempre
, e quando
os sinais alternam), portanto a série não converge.
Resposta
A série converge somente se
, e neste caso
Para
, a série diverge.