estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty}(\operatorname{sen}(a))^{n}, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza e, se possível, calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(a))^{n},
onde a\in\mathbb{R}. Vamos usar o conceito de série geométrica, cujo termo geral é r^n, e cujo critério de convergência e soma conhecida são fundamentais aqui.

Passo 2

Reconhecemos que a série é geométrica de razão
r = \sin(a).
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^n convergir, é necessário e suficiente que |r|<1. Logo, a nossa converge se e somente se
|\sin(a)|<1.

Passo 3

Quando |\sin(a)|<1, a soma da série geométrica é dada pela fórmula
\sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1 - r}.
Substituindo r=\sin(a), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(a))^n = \frac{\sin(a)}{1 - \sin(a)}.

Passo 4

Se |\sin(a)|\ge1, os termos (\sin(a))^n não tendem a zero (quando \sin(a)=1 são sempre 1, e quando \sin(a)=-1 os sinais alternam), portanto a série não converge.

Resposta

A série converge somente se |\sin(a)|<1, e neste caso
\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(a))^n = \frac{\sin(a)}{1 - \sin(a)}.
Para |\sin(a)|\ge1, a série diverge.

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