Use o teste de comparação para estudar a natureza das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n^{2}-n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n^{2}-n}
usando o teste de comparação. Vamos comparar com a p-série \sum 1/n^{2}, que é conhecida por convergir (pois p=2>1).

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{5n^{2}-n}, \quad b_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que \sum b_{n} = \sum 1/n^{2} converge.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite, calculando
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{1}{5n^{2}-n}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{5n^{2}-n}.

Passo 4

No limite, os termos de maior grau dominam:
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{5n^{2}-n} = \frac{1}{5}.
Como este limite é finito e não nulo, as duas séries têm a mesma natureza. Como \sum b_{n} converge, segue que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n^{2}-n} é convergente.

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