estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza (convergência ou divergência) e, quando possível, calcular a soma da série
O conteúdo é o de série geométrica de razão
cuja convergência ocorre exatamente se
.
Passo 2
Identificamos que a série é geométrica com termo geral
Para série geométrica, o critério de convergência é
e para
a série diverge.
Passo 3
Vamos reescrever a condição
. Note que
Logo
Portanto, a série converge se e somente se
isto é,
Passo 4
Quando converge (isto é,
), a soma de uma série geométrica é
Aqui
, logo
Resposta
A série
converge se, e somente se,
converge se, e somente se,
e, nesse caso,
Para
, a série diverge.