estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty}(\operatorname{sen}(a)+\cos (a))^{n}, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza (convergência ou divergência) e, quando possível, calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin(a)+\cos(a)\bigr)^{n},\quad a\in\mathbb{R}.
O conteúdo é o de série geométrica de razão
\;r=\sin(a)+\cos(a),
cuja convergência ocorre exatamente se \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica com termo geral
\;u_{n}=r^{n},\quad r=\sin(a)+\cos(a).
Para série geométrica, o critério de convergência é
\lvert r\rvert<1\quad\Longleftrightarrow\quad\text{converge},
e para \lvert r\rvert\ge1 a série diverge.

Passo 3

Vamos reescrever a condição \lvert\sin(a)+\cos(a)\rvert<1. Note que
(\sin(a)+\cos(a))^{2} =\sin^{2}(a)+\cos^{2}(a)+2\sin(a)\cos(a) =1+\sin(2a).
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\lvert\sin(a)+\cos(a)\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad (\sin(a)+\cos(a))^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\sin(2a)<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2a)<0.
Portanto, a série converge se e somente se
\sin(2a)<0,
isto é,
2a\in(\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi)\quad\Longleftrightarrow\quad a\in\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\pi+k\pi\bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Quando converge (isto é, \lvert r\rvert<1), a soma de uma série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} =\frac{r}{1-r}.
Aqui r=\sin(a)+\cos(a), logo
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sin(a)+\cos(a)\bigr)^{n} =\frac{\sin(a)+\cos(a)}{1-\bigl(\sin(a)+\cos(a)\bigr)}.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(a)+\cos(a))^{n}
converge se, e somente se,
\lvert\sin(a)+\cos(a)\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2a)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\in\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\pi+k\pi\bigr),\;k\in\mathbb{Z},
e, nesse caso,
\sum_{n=1}^{\infty}(\sin(a)+\cos(a))^{n} =\frac{\sin(a)+\cos(a)}{1-\sin(a)-\cos(a)}.
Para \lvert\sin(a)+\cos(a)\rvert\ge1, a série diverge.

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