Use o teste de comparação para estudar a natureza das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^{n}+5}

Passo 1

O enunciado pede estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{3^{n}+5}
usando o teste de comparação. Trata-se de uma série de termos positivos; vamos compará-la a uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Para todo n\ge1 vale
3^{n}+5 > 3^{n},
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0 \le \frac{5}{3^{n}+5} < \frac{5}{3^{n}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{3^{n}}
é geométrica de razão r=\tfrac{1}{3} (com \lvert r\rvert<1), portanto converge. De fato,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{3^{n}} =5\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n} =\frac{5\cdot\frac13}{1-\frac13} =\frac{5}{2}.
Pela comparação, como 0\le\frac{5}{3^{n}+5}\le\frac{5}{3^{n}} e a série maior converge, a série original também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{3^{n}+5} converge.

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