estude quanto à natureza e calcule a soma das séries, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{3 n-2}}+\frac{3}{2^{2 n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a natureza (convergência ou divergência) e, se possível, calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{3n-2}}+\frac{3}{2^{2n}}\Bigr).
O conteúdo principal é o de séries geométricas. Para resolver, vamos usar a linearidade da soma e a fórmula da soma de uma série geométrica: se \lvert r\rvert<1,
\sum_{n=1}^\infty a\,r^{n-1}=\frac{a}{1-r} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty r^n=\frac{r}{1-r}.

Passo 2

Separemos a série em duas partes:
S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{3n-2}} \quad\text{e}\quad T = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{2n}},
de modo que
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{3n-2}}+\frac{3}{2^{2n}}\Bigr) = S + T.

Passo 3

Analisando S:
\frac{1}{2^{3n-2}} = \frac{1}{2^{3n}/2^2} =4\cdot\frac{1}{2^{3n}} =4\Bigl(\frac{1}{8}\Bigr)^{n}.
Logo,
S = \sum_{n=1}^{\infty}4\Bigl(\tfrac{1}{8}\Bigr)^{n} =4\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{8}\Bigr)^{n}.
Aqui o quociente é r=\tfrac18, com \lvert r\rvert<1, então converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{8}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac18}{1-\tfrac18} =\frac{1/8}{7/8} =\frac{1}{7}.
Portanto,
S = 4\cdot\frac{1}{7} =\frac{4}{7}.

Passo 4

Analisando T:
\frac{3}{2^{2n}} =3\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{n}.
É uma série geométrica com quociente r=\tfrac14, logo converge, e
T = 3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^{n} =3\cdot\frac{\tfrac14}{1-\tfrac14} =3\cdot\frac{1/4}{3/4} =3\cdot\frac{1}{3} =1.

Passo 5

Como ambas as partes são séries geométricas com \lvert r\rvert<1, a série dada converge absolutamente. A soma total é
S + T = \frac{4}{7} + 1 = \frac{4}{7} + \frac{7}{7} = \frac{11}{7}.

Resposta

A série converge absolutamente e
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{3n-2}}+\frac{3}{2^{2n}}\Bigr) =\frac{11}{7}.

Exercícios relacionados