Mostre que a matriz ll1 & a 0 & 1 não é semelhante a uma matriz diagonal se a neq 0.

Passo 1

Temos a matriz A=1 & a0 & 1 com aneq0. Vamos usar autovalores, espaços próprios e o critério de diagonalização (multiplicidade geométrica versus algébrica).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Usamos chiA(lambda)=det(A-lambda I) .
chiA(lambda)=det1-lambda & a0 & 1-lambda=(1-lambda)^2
Logo o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para achar o espaço próprio de lambda=1, resolvemos (A-I)v=0. Isso dá o sistema
0 & a0 & 0xy=00
Da primeira linha vem a,y=0, e como aneq0 temos y=0 e x livre. O espaço próprio é então (x,0):xin R de dimensão 1.

Passo 4

O critério de diagonalização diz que a matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) iguala a multiplicidade algébrica. Aqui a geométrica de lambda=1 é 1, mas a algébrica é 2. Como 1<2, A não é diagonalizável e, portanto, não pode ser semelhante a nenhuma matriz diagonal.

Resposta

A matriz 1 & a0 & 1 com aneq0 não é semelhante a nenhuma matriz diagonal.

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