Mostre que a matriz
não é semelhante a uma matriz diagonal se
.
Passo 1
Temos a matriz
com
. Vamos usar autovalores, espaços próprios e o critério de diagonalização (multiplicidade geométrica versus algébrica).
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
. Usamos
.
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Para achar o espaço próprio de
, resolvemos
. Isso dá o sistema
Da primeira linha vem
, e como
temos
e
livre. O espaço próprio é então
de dimensão 1.
Passo 4
O critério de diagonalização diz que a matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) iguala a multiplicidade algébrica. Aqui a geométrica de
é 1, mas a algébrica é 2. Como 1<2,
não é diagonalizável e, portanto, não pode ser semelhante a nenhuma matriz diagonal.
Resposta
A matriz
com
não é semelhante a nenhuma matriz diagonal.