Estude com relação a extremantes globais e locais a função
,
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos (locais e globais) da função
. O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis, e vamos precisar do gradiente para achar pontos críticos, e da matriz Hessiana (segunda derivadas) para classificar cada ponto. Também vamos analisar o comportamento de
quando
para ver se existe máximo global.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Chamando
, temos
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
, ou seja,
-
-
.
Isso gera as possibilidades:
-
e → ponto . -
e → dá , logo . -
e → , logo .
Não há outras soluções simultâneas compatíveis.
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto (quando possível) usando a Hessiana. As segundas derivadas são:
Passo 5
Em cada ponto crítico:
- Em
, temos , então
O determinante da Hessiana é, logo é ponto de sela. - Em
, temos , então
Aqui o determinante ée , logo é mínimo local. - Em
a função não é (a raiz falha em ter derivada linear lá), mas avaliando direcionalmente vemos que e em pontos próximos — por exemplo em eixos — . Isso mostra que é um máximo local.
Passo 6
Finalmente, analisamos o comportamento para
: o termo quadrático domina, fazendo
. Não há máximo global (a função cresce sem limite). Para o mínimo global, vemos que os menores valores de
ocorrem em
com
Não existe valor de
Resposta
Pontos críticos e classificação:
- Máximo local em (0,0) com f(0,0)=0.
- Ponto de sela em (±1/2,0) com f=−1/4.
- Mínimos locais (e globais) em (0,±1/√2) com f=−1/2.
Não há máximo global (f→+∞ quando ‖(x,y)‖→∞).