Estude com relação a extremantes globais e locais a função f(x, y)=
x^2+y^2-raizx^2+2 y^2,

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos (locais e globais) da função f(x,y)=x^2+y^2-raizx^2+2y^2. O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis, e vamos precisar do gradiente para achar pontos críticos, e da matriz Hessiana (segunda derivadas) para classificar cada ponto. Também vamos analisar o comportamento de f quando |(x,y)|toinfty para ver se existe máximo global.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Chamando R=raizx^2+2y^2, temos
f(x,y)=x^2+y^2-R, partial fpartial x=2x-xR=xl(2-1Rr), partial fpartial y=2y-2yR=2yl(1-1Rr)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem nabla f=0, ou seja,
  • xl(2-1/Rr)=0
  • 2yl(1-1/Rr)=0.
    Isso gera as possibilidades:
  1. x=0 e y=0 → ponto (0,0).
  2. x=0 e R=1 R=raiz2y^2=1 y=pm1/raiz2, logo (0,pm1/raiz2).
  3. y=0 e R=1/2 R=|x|=1/2, logo (pm1/2,0).
    Não há outras soluções simultâneas compatíveis.

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto (quando possível) usando a Hessiana. As segundas derivadas são:
fxx=2-2y^2R^3, fyy=2-2R+2y^2R^3, fxy=xyR^3

Passo 5

Em cada ponto crítico:
  • Em (pm1/2,0), temos R=1/2, então
    fxx=2>0, fyy=2-tfrac21/2=-2<0, fxy=0
    O determinante da Hessiana é fxxfyy-fxy^2=2cdot(-2)<0, logo é ponto de sela.
  • Em (0,pm1/raiz2), temos R=1, então
    fxx=2-tfrac2(1/2)1=1>0, fyy=2-2+tfrac2(1/2)1=1>0, fxy=0
    Aqui o determinante é 1cdot1>0 e fxx>0, logo é mínimo local.
  • Em (0,0) a função não é C^1 (a raiz falha em ter derivada linear lá), mas avaliando direcionalmente vemos que f(0,0)=0 e em pontos próximos — por exemplo em eixos — f<0. Isso mostra que (0,0) é um máximo local.

Passo 6

Finalmente, analisamos o comportamento para |(x,y)|toinfty: o termo quadrático domina, fazendo f(x,y)to+infty. Não há máximo global (a função cresce sem limite). Para o mínimo global, vemos que os menores valores de f ocorrem em (0,pm1/raiz2) com
fl(0,pm1/raiz2r)=tfrac12-1=-tfrac12
Não existe valor de f menor que -1/2, então esse é o mínimo absoluto.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
  • Máximo local em (0,0) com f(0,0)=0.
  • Ponto de sela em (±1/2,0) com f=−1/4.
  • Mínimos locais (e globais) em (0,±1/√2) com f=−1/2.
Não há máximo global (f→+∞ quando ‖(x,y)‖→∞).

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