Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y)=
raiz[3]x^2+2 x y+4 y^2-6 x-12 y

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude máximos e mínimos locais de
f(x,y)=raiz[3]x^2+2xy+4y^2;-;6x;-;12y
O método é: 1) achar pontos críticos resolvendo nabla f=0, 2) classificar cada ponto pelo teste de segunda derivada ou por examinar variações em direções específicas.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Defina
u(x,y)=x^2+2xy+4y^2,
então
f(x,y)=u^1/3-6x-12y
Como partial u/partial x=2x+2y e partial u/partial y=2x+8y, pelo princípio da cadeia
fx=13u^-2/3(2x+2y)-6 =2(x+y)3,u^2/3-6,
fy=13u^-2/3(2x+8y)-12 =2(x+4y)3,u^2/3-12
O ponto crítico satisfaz fx=0 e fy=0.

Passo 3

Da equação fx=0 vem
x+yu^2/3=9,
e de fy=0 vem
x+4yu^2/3=18
Seja t=u^2/3. Então
x+y=9t, x+4y=18t
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se 3y=9t, logo y=3t e x=9t-y=6t. Como
u= x^2+2xy+4y^2=108,t^2,
temos
t=(u)^2/3=(108,t^2)^2/3=108^2/3t^4/3 ;Longrightarrow; t=108^-2=111664
Portanto o único ponto crítico é
l(x,yr) =l(6t,3tr) =l(tfrac11944,tfrac13888r)

Passo 4

Para ver que tipo de ponto é, basta notar que testando duas direções diferentes uma delas faz f aumentar ao sair do ponto crítico e outra faz f diminuir. Por exemplo, ao longo da reta (x,y)=(6s,3s) com s próximo de t a função tem segunda derivada negativa (máximo local nessa direção), mas ao escolher um deslocamento perpendicular ela cresce (mínimo nessa outra direção). Isso caracteriza ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é
l(tfrac11944,tfrac13888r),
e ele é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).

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