Estude com relação a máximos e mínimos locais a função
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude máximos e mínimos locais de
O método é: 1) achar pontos críticos resolvendo
, 2) classificar cada ponto pelo teste de segunda derivada ou por examinar variações em direções específicas.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Defina
então
Como
e
, pelo princípio da cadeia
O ponto crítico satisfaz
e
.
Passo 3
Da equação
vem
e de
vem
Seja
. Então
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se
, logo
e
. Como
temos
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Para ver que tipo de ponto é, basta notar que testando duas direções diferentes uma delas faz
aumentar ao sair do ponto crítico e outra faz
diminuir. Por exemplo, ao longo da reta
com
próximo de
a função tem segunda derivada negativa (máximo local nessa direção), mas ao escolher um deslocamento perpendicular ela cresce (mínimo nessa outra direção). Isso caracteriza ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).