Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor. (ex 9 a 14)
Onde
e
são positivos.
Passo 1
O enunciado considera a forma diferencial
com
em
.
Queremos mostrar que é exata (logo independente do caminho) e então, pelo Teorema 15.3.1 (teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos), calcular
Queremos mostrar que
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão em
, ou seja, comparamos
Calculando
Como
em
, a forma é exata e, sendo
simplesmente conexo,
é conservativa.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Para ajustar
, igualamos
a
:
Logo podemos tomar
constante, e sem perda de geralidade
Passo 4
Pelo Teorema 15.3.1, para qualquer curva de
a
vale
Calculando:
portanto
Resposta
A integral é independente do caminho e seu valor é
.