Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 15.3.1 para determinar seu valor. (ex 9 a 14)
integral(1,1)^(3,3)(e^x cdot ln (y)-e^yx) cdot d x+(e^xy-e^y cdot ln (x)) cdot d y
Onde x e y são positivos.

Passo 1

O enunciado considera a forma diferencial
omega = M(x,y),dx + N(x,y),dy
com
M(x,y) = e^xln(y)-e^yx, N(x,y) = e^xy-e^yln(x),
em D=(x,y)mid x>0,;y>0.
Queremos mostrar que omega é exata (logo independente do caminho) e então, pelo Teorema 15.3.1 (teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos), calcular
integral(1,1)^(3,3)omega

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão em D, ou seja, comparamos
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculando
partial Mpartial y = partialpartial yl(e^xln(y)r) - partialpartial yl(e^yxr) = e^xy - e^yx,
partial Npartial x = partialpartial xl(e^xyr) - partialpartial xl(e^yln(x)r) = e^xy - e^yx
Como partial Mpartial y=partial Npartial x em D, a forma é exata e, sendo D simplesmente conexo, omega é conservativa.

Passo 3

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = integrall(e^xln(y)-e^yxr),dx = e^xln(y) - e^yln(x) + h(y)
Para ajustar h(y), igualamos partial F/partial y a N:
partial Fpartial y = e^xy - e^yln(x) + h'(y) stackrel!= e^xy - e^yln(x) implies h'(y)=0
Logo podemos tomar h(y)= constante, e sem perda de geralidade
F(x,y)=e^xln(y)-e^yln(x)

Passo 4

Pelo Teorema 15.3.1, para qualquer curva de (1,1) a (3,3) vale
integral(1,1)^(3,3)omega = F(3,3)-F(1,1)
Calculando:
F(3,3)=e^3ln(3)-e^3ln(3)=0, F(1,1)=e^1ln(1)-e^1ln(1)=0,
portanto
integral(1,1)^(3,3)omega = 0

Resposta

A integral é independente do caminho e seu valor é 0.

Exercícios relacionados