Obtenha uma solução geral para:
d y(t)d t=2 e^t-y(t)

Passo 1

Beleza, temos que resolver a equação
dydt = 2e^t - y(t)
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo linear. Vamos precisar:
  1. Reconhecer a forma padrão dydt + p(t),y = g(t).
  2. Aplicar o método do fator integrante para integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, coloque a ODE na forma padrão. A equação original é
dydt = 2e^t - y
Basta somar y dos dois lados pra ter
dydt + y = 2e^t
Aqui p(t)=1 e g(t)=2e^t.

Passo 3

Agora vem a parte do fator integrante. A teoria diz: se você tem
dydt + p(t),y = g(t),
o fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt
No nosso caso p(t)=1, então
mu(t) = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

A gente multiplica toda a equação por mu(t)=e^t:
e^tdydt + e^t,y = 2e^tcdot e^t = 2e^2t
Pela teoria do fator integrante, o lado esquerdo vira a derivada do produto mu(t),y:
e^tdydt + e^t y = ddtl(y,e^tr)
Então a equação vira
ddtl(y,e^tr) = 2e^2t

Passo 5

Agora integramos dos dois lados em relação a t:
integral ddtl(y,e^tr),dt = integral 2e^2t,dt
No lado esquerdo sobra simplesmente y,e^t. No direito, a integral de 2e^2t é
integral 2e^2t,dt = 2cdote^2t2 + C = e^2t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Então a solução geral dessa etapa é
y,e^t = e^2t + C
Para achar y(t), basta isolar:
y(t) = e^-tl(e^2t + Cr) = e^t + C,e^-t

Resposta

A solução geral da equação
dydt=2e^t-y
é
boxedy(t)=e^t + C,e^-t,
onde C é uma constante arbitrária.

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