Obtenha a solução particular yp da equação diferencial não-homogênea abaixo pelo método de sua preferência.
y^prime prime(t)-2 y^prime(t)=8 e^3 t+4 sen(t)

Passo 1

O problema é achar uma solução particular yp(t) para a EDO não‐homogênea
y''(t)-2y'(t)=8e^3t+4sin(t)
Matéria: EDO linear de 2ª ordem com termo não‐homogêneo.
O que vamos usar: método dos coeficientes indeterminados (a gente “chuta” uma forma para yp), calcula derivadas, põe na equação e ajusta os coeficientes.

Passo 2

Escolha do palpite (ansatz):
Para cada termo do lado direito:
  • 8e^3t sugere Ae^3t.
  • 4sin t sugere Bcos t + Csin t.
    Então supomos
yp(t)=A e^3t+Bcos t + Csin t

Passo 3

Calcular as derivadas de yp:
yp'(t)=3A e^3t-Bsin t + Ccos t,
yp''(t)=9A e^3t-Bcos t - Csin t

Passo 4

Substituir na equação y''-2y':
yp''-2yp' =(9A e^3t-Bcos t - Csin t) -2l(3A e^3t-Bsin t + Ccos tr)
Fazendo as contas:
yp''-2yp' =9A e^3t-Bcos t - Csin t -6A e^3t+2Bsin t-2Ccos t,
=3A e^3t +(-B-2C)cos t +(-C+2B)sin t

Passo 5

A gente quer que isso seja igual a 8e^3t+4sin t. Então iguala coeficientes de e^3t, cos t e sin t:
  1. 3A = 8
  2. -B -2C = 0
  3. -C +2B = 4
Resolve:
  • Da eq. 1: A=tfrac83.
  • Da eq. 2: B=-2C.
  • Substituindo em 3: -C+2(-2C)=4 implies -C-4C=4implies -5C=4implies C=-tfrac45
  • Logo B=-2(-tfrac45)=tfrac85

Resposta

boxedyp(t)=83e^3t+85cos t-45sin t

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