Obtenha uma solução para o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o problema. A questão pede para achar a função
que satisfaz o PVI
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente de EDOs separáveis. Para resolver, vamos usar:
- Reconhecer que a equação é separável (ou seja, dá para colocar tudo com
num lado e tudo com no outro). - Integrar os dois lados.
- Aplicar a condição inicial
para achar a constante. - Isolar
e escrever a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma
.
Agora reconhecemos que é separável porque podemos escrever
Aqui, a ideia é “separar” as variáveis
e
: todo termo com
de um lado, todo termo com
do outro.
Passo 3
Vamos integrar os dois lados.
Do lado esquerdo:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Sabendo que
(quando
), temos:
Somando:
Passo 4
Juntando integradas e trocando a constante geral
, fica
Multiplicando por
:
Renomeando
para
, escrevemos
Agora usamos a condição inicial
. Em
:
Passo 5
Substituindo
de volta:
Para deixar mais ajeitadinho, podemos juntar tudo num único denominador:
Logo
Resposta
que satisfaz o PVI dado.