Obtenha uma solução para o PVI:
t^3 d yd t=3 t y^2+2 y^2, sujeito a y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o problema. A questão pede para achar a função y(t) que satisfaz o PVI
t^3,dydt ;=; 3t,y^2 + 2,y^2, y(1)=2
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente de EDOs separáveis. Para resolver, vamos usar:
  1. Reconhecer que a equação é separável (ou seja, dá para colocar tudo com y num lado e tudo com t no outro).
  2. Integrar os dois lados.
  3. Aplicar a condição inicial y(1)=2 para achar a constante.
  4. Isolar y e escrever a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma dydt = dots.
t^3 ,dydt = y^2,(3t+2) ;;Longrightarrow;; dydt = y^2,3t+2t^3
Agora reconhecemos que é separável porque podemos escrever
dyy^2 = 3t+2t^3,dt
Aqui, a ideia é “separar” as variáveis y e t: todo termo com y de um lado, todo termo com t do outro.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados.
Do lado esquerdo:
integral dyy^2 = integral y^-2,dy = -,1y + C1
Do lado direito:
integral 3t+2t^3,dt = integral l(3t^-2 + 2t^-3r),dt = 3integral t^-2dt + 2integral t^-3dt
Sabendo que integral t^n dt = t^n+1n+1 (quando nneq -1), temos:
3integral t^-2dt = 3l(-t^-1r) = -3t, 2integral t^-3dt = 2l(-tfrac12 t^-2r) = -1t^2
Somando:
integral 3t+2t^3,dt = -3t - 1t^2 + C2

Passo 4

Juntando integradas e trocando a constante geral C = C2 - C1, fica
-,1y = -3t - 1t^2 + C
Multiplicando por -1:
1y = 3t + 1t^2 - C
Renomeando -C para C', escrevemos
1y = 3t + 1t^2 + C'
Agora usamos a condição inicial y(1)=2. Em t=1:
12 = 3 + 1 + C' = 4 + C' Longrightarrow C' = 12 - 4 = -72

Passo 5

Substituindo C' = -tfrac72 de volta:
1y = 3t + 1t^2 - 72
Para deixar mais ajeitadinho, podemos juntar tudo num único denominador:
3t + 1t^2 - 72 = 6t + 2 - 7t^22t^2 = -7t^2 + 6t + 22t^2
Logo
1y = -7t^2 + 6t + 22t^2 Longrightarrow y = 2t^2-7t^2 + 6t + 2

Resposta

boxedy(t) = 2,t^2-7,t^2 + 6,t + 2,
que satisfaz o PVI dado.

Exercícios relacionados