Questão 15. Determine a dimensão de W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid w=x+y\right. e z= x-y\}, subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W de \mathbb{R}^{4} definido por duas equações lineares:
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid w=x+y \text{ e } z=x-y\}.
O que se pede: determinar a dimensão de W.
Informações relevantes fornecidas:
As coordenadas são (x,y,z,w).
Há duas relações lineares entre as coordenadas: w=x+y e z=x-y.
W é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Passo 2
Transformar as igualdades em equações lineares na forma homogênea ajuda a enxergar o problema. As igualdades dadas equivalem a
w - x - y = 0
e
z - x + y = 0.
Assim, W é o espaço de soluções do sistema homogêneo formado por essas duas equações lineares em quatro incógnitas. Em termos práticos, isso significa que algumas coordenadas podem ser expressas em função de outras — teremos variáveis livres e variáveis dependentes.
Passo 3
Escolhemos tomar x e y como parâmetros livres (isso é natural aqui porque as duas equações permitem resolver z e w em função de x e y). Usando as relações do enunciado:
z = x - y, \qquad w = x + y.
Então um vetor genérico de W é
(x,y,z,w) = (x,y,x-y,x+y).
Passo 4
Escrever a expressão anterior como combinação linear dos parâmetros mostra uma forma canônica:
(x,y,x-y,x+y) = x\,(1,0,1,1) + y\,(0,1,-1,1).
Isto mostra que todo vetor de W é combinação linear dos vetores v_1=(1,0,1,1) e v_2=(0,1,-1,1). Portanto
W \subseteq \operatorname{span}\{v_1,v_2\},
e como qualquer combinação desses v_1,v_2 satisfaz as duas equações, também vale
W = \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Passo 5
Para concluir que \{v_1,v_2\}\) é uma base de \(W\) (e assim dar a dimensão), precisamos verificar que \(v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Suponha
\[a\,v_1 + b\,v_2 = \mathbf{0},
ou seja,
a\,(1,0,1,1) + b\,(0,1,-1,1) = (0,0,0,0).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} a = 0,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a - b = 0,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já vem a=0\] e \(b=0. Portanto a única solução é a=b=0, o que prova que v_1 e v_2 são linearmente independentes.]
Passo 6
Como W=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} e \{v_1,v_2\} é um conjunto de dois vetores linearmente independentes, esse conjunto é uma base de W. Logo a dimensão de W é o número de vetores na base, isto é, 2.