Estude a série com relação a convergência ou divergência.
sumn=0^+infty n+2raizn^0+n^2+1raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar se a série sumn=0^+infty n+2raizn^0+n^2+1raiz2 converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência. Vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série para chegar a uma conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então n^0 = 1. Assim, a expressão dentro da raiz fica:
raiz1 + n^2 + 1 = raizn^2 + 2
Então, o termo geral da série fica:
n+2raizn^2 + 2 cdot raiz2

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando n tende ao infinito. Observamos que, para valores grandes de n:
  • n + 2 approx n
  • raizn^2 + 2 approx raizn^2 = n
Então, o termo simplifica para:
nn cdot raiz2 = 1raiz2

Passo 4

Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral da série quando n tende ao infinito não é zero, a série diverge. No nosso caso:
limn to infty 1raiz2 = 1raiz2 neq 0

Resposta

A série diverge.

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