Estude as séries a seguir quanto a convergência ou divergência, de acordo com o que foi estabelecido anteriormente.
sumn=0^+infty 2(pi5)^n

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a série sumn=0^infty2l(pi5r)^n, que é uma série geométrica de primeiro termo a=2 e razão r=pi5. Vamos usar o teste de convergência para séries geométricas, que diz que a série converge se e só se |r|<1.

Passo 2

Cálculo de |r|: temos |r|=l|tfracpi5r|=tfracpi5. Como piapprox3,14, segue que tfracpi5approx0,628<1. Portanto, a condição |r|<1 está satisfeita.

Passo 3

Conclusão de convergência e cálculo da soma: como |r|<1, a série é convergente. A soma S de uma série geométrica é dada por S=a1-r. Assim,

Passo 4

Aplicação da fórmula da soma:

Passo 5

S=21-tfracpi5=2tfrac5-pi5=105-pi

Resposta

A série é convergente e sua soma é dfrac105-pi.

Exercícios relacionados