Estude as séries a seguir quanto a convergência ou divergência, de acordo com o que foi estabelecido anteriormente.
sumn=0^+infty 2^-2 n

Passo 1

Estamos estudando se a série sumn=0^+infty2^-2n converge ou diverge. Isso cai no conteúdo de séries numéricas, e como veremos, é um caso clássico de série geométrica.

Passo 2

Para reconhecer a série geométrica, reescrevemos o termo geral:
2^-2n=(2^-2)^n=l(tfrac14r)^n
Aqui, a razão da potência é r=tfrac14.

Passo 3

O critério para série geométrica diz que se |r|<1, então sumn=0^infty r^n converge. No nosso caso |tfrac14|<1, logo a série converge.

Passo 4

Como ela converge, usamos a fórmula da soma de série geométrica:
sumn=0^infty r^n=11-r
Substituindo r=tfrac14 obtemos
11-tfrac14=1tfrac34=43

Resposta

A série converge e tem soma tfrac43.

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