Estude as séries a seguir quanto a convergência ou divergência, de acordo com o que foi estabelecido anteriormente.
sumn=0^+infty (-3)^n-14^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty (-3)^n-14^n
Esse é um caso de séries infinitas, mais especificamente uma série geométrica. Vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma para séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o termo geral em forma de progressão geométrica. Observando:
(-3)^n-14^n = (-3)^n(-3),4^n = -13 ;(-3)^n4^n = -13 gl(-34gr)^n
Logo, a série pode ser reescrita como
sumn=0^infty (-3)^n-14^n = -13 sumn=0^infty gl(-34gr)^n

Passo 3

Em uma série geométrica sumn=0^infty r^n, a convergência ocorre se, e somente se, |r|<1. Aqui o fator de razão é r = -tfrac34, e:
|r| = l| -tfrac34r| = tfrac34 < 1
Portanto, a série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
sumn=0^infty r^n = 11-r
Assim, substituindo em nossa expressão:
sumn=0^infty (-3)^n-14^n = -13 cdot 11 - l(-tfrac34r) = -13 cdot 11 + tfrac34 = -13 cdot 1tfrac74 = -13 cdot 47 = -421

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac421.

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