Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
Passo 1
O enunciado define a função
por
queremos mostrar que
é diferenciável em todo
. Vamos usar o Lema Fundamental de diferenciabilidade, que afirma: se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
, então
é diferenciável em
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
A derivada parcial em relação a
é
Passo 3
Observe que
e
são polinômios em
e
. Logo, ambas as funções são contínuas em todo
.
Passo 4
Pelo Lema Fundamental de diferenciabilidade, como
e
existem e são contínuas em
, concluímos que
é diferenciável em todo o domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em
.