Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
z=x^2 y^4 ; D=R^2

Passo 1

O enunciado define a função fcolonR^2toR por
f(x,y)=x^2y^4,
queremos mostrar que f é diferenciável em todo D=R^2. Vamos usar o Lema Fundamental de diferenciabilidade, que afirma: se as derivadas parciais de f existem e são contínuas em D, então f é diferenciável em D.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(x^2y^4r) =2x,y^4
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(x^2y^4r) =4y^3,x^2

Passo 3

Observe que (x,y)mapsto2x,y^4 e (x,y)mapsto4y^3,x^2 são polinômios em x e y. Logo, ambas as funções são contínuas em todo R^2.

Passo 4

Pelo Lema Fundamental de diferenciabilidade, como partial fpartial x e partial fpartial y existem e são contínuas em R^2, concluímos que f é diferenciável em todo o domínio.

Resposta

A função f(x,y)=x^2y^4 é diferenciável em R^2.

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