Questão 01: (1 ponto) Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeirace justifique. (Atribuicão de V ou F sem justificuliva nâo será pontıada)
a) (f) x^3-1x-1=x^2+x+1
b) (F) raizx^2=x para todo x in R
c) (0) Se lim x x0 f(x)=0, então lim x x0 dag>=r|f(x) cdot g(x)|=0
d) (F) lim y 0^+ y+636-y^2=-infty

Passo 1

Beleza, vamos olhar essa questão que pede pra gente dizer se cada afirmação é verdadeira ou falsa. A matéria aqui envolve álgebra, limites e propriedades de funções. Precisamos usar conhecimentos de fatoração de polinômios, propriedades das raízes quadradas e cálculo de limites para resolver cada parte.

Passo 2

a) x^3-1x-1 = x^2+x+1
Primeiro, vamos ver se essa igualdade está correta. Para simplificar x^3-1x-1, podemos fatorar o numerador. Sabemos que x^3-1 é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada como (x-1)(x^2+x+1). Então:
x^3-1x-1 = (x-1)(x^2+x+1)x-1 = x^2+x+1
Portanto, a igualdade é verdadeira.

Passo 3

b) raizx^2 = x para todo x in R
Vamos lembrar que a raiz quadrada de x^2 na verdade dá o valor absoluto de x, ou seja, raizx^2 = |x|. O valor absoluto de x é igual a x somente quando x é positivo ou zero. Se x for negativo, |x| = -x, que não é igual a x. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todo número real.

Passo 4

c) Se lim x x0 f(x)=0, então lim x x0 |f(x) cdot g(x)|=0ã
Aqui, sabemos que se lim x x0 f(x)=0, então f(x) está se aproximando de zero perto de x0. Mesmo se g(x) for uma função que não se aproxima de zero, o produto f(x) cdot g(x) vai se aproximar de zero porque f(x) está “trazendo” tudo para zero. Além disso, o valor absoluto não altera essa conclusão. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) lim y 0^+ y+636-y^2 = -infty
Vamos analisar o comportamento da função quando y se aproxima de 0 pela direita. Substituindo y = 0:
0+636-0 = 636 = 16
À medida que y se aproxima de 0, o denominador 36 - y^2 fica próximo de 36, e o numerador y + 6 fica próximo de 6. Não há tendência para -infty, mas sim para 16. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

a) V
b) F
c) V
d) F

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