Estude as séries a seguir quanto a convergência ou divergência, de acordo com o que foi estabelecido anteriormente.
Por que o fato de
ser divergente não contradiz o Teorema 1 ?
Por que o fato de
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a convergência da série harmônica
e nos questiona por que sua divergência não contradiz o Teorema 1. O conteúdo envolvido é o teste da condição necessária de convergência (Teorema 1) e algum critério que comprove a divergência da harmônica, como o teste da integral.
Passo 2
Primeiro, lembramos do Teorema 1: “Se a série
converge, então
”. Note que é uma condição necessária, não suficiente. Vamos verificar qual é o limite do termo geral da harmônica:
Passo 3
Calculamos
Ou seja, o termo geral tende a zero, mas isso por si só não garante convergência.
Passo 4
Para mostrar que
diverge, usamos o teste da integral. Consideramos a função
, positiva e decrescente para
. Então
Como a integral diverge, a série harmônica também diverge.
Passo 5
O fato de
tender a zero sem impedir a divergência mostra que o Teorema 1 não afirma o recíproco. Ele diz apenas: “convergência implica termo geral nulo”, mas “termo geral nulo” não implica convergência. Portanto não há contradição.
Resposta
A Série harmônica diverge apesar de
porque o Teorema 1 dá só condição necessária (se converge então o termo vai a zero), não condição suficiente (o termo pode ir a zero e a série divergar).