Estude as séries a seguir quanto a convergência ou divergência, de acordo com o que foi estabelecido anteriormente.
Por que o fato de sumn=1^+infty 1n ser divergente não contradiz o Teorema 1 ?

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série harmônica sumn=1^+infty tfrac1n e nos questiona por que sua divergência não contradiz o Teorema 1. O conteúdo envolvido é o teste da condição necessária de convergência (Teorema 1) e algum critério que comprove a divergência da harmônica, como o teste da integral.

Passo 2

Primeiro, lembramos do Teorema 1: “Se a série sum an converge, então anto0”. Note que é uma condição necessária, não suficiente. Vamos verificar qual é o limite do termo geral da harmônica:

Passo 3

Calculamos
limnto+infty1n=0
Ou seja, o termo geral tende a zero, mas isso por si só não garante convergência.

Passo 4

Para mostrar que sumn=1^+inftytfrac1n diverge, usamos o teste da integral. Consideramos a função f(x)=1/x, positiva e decrescente para x>=1. Então
integral1^+infty1x,dx=limtto+inftyl[ln xr]1^t=limtto+infty(ln t-0)=+infty
Como a integral diverge, a série harmônica também diverge.

Passo 5

O fato de an=1/n tender a zero sem impedir a divergência mostra que o Teorema 1 não afirma o recíproco. Ele diz apenas: “convergência implica termo geral nulo”, mas “termo geral nulo” não implica convergência. Portanto não há contradição.

Resposta

A Série harmônica diverge apesar de 1/nto0 porque o Teorema 1 dá só condição necessária (se converge então o termo vai a zero), não condição suficiente (o termo pode ir a zero e a série divergar).

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