Questão 03: Calcule os limites a seguir, apresentando o passo a passo, assim como fizemos nos exemplos em aula. Não se esqueca de usat a notagño de linite até ofim!
(2 pontos ) lim x 2 x^4-5 x-6x^3+x^2-4 x-4

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse limite juntos. O exercício pede para calcular:
lim x 2 x^4-5x-6x^3+x^2-4x-4
Esse tipo de problema pertence ao tópico de Cálculo de Limites, e para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de fatoração de polinômios e entender como aplicar a definição de limite. Vamos passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2^4 - 5 times 2 - 62^3 + 2^2 - 4 times 2 - 4 = 16 - 10 - 68 + 4 - 8 - 4 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão. Geralmente, isso é feito fatorando o numerador e o denominador.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador x^4 - 5x - 6 . Observando que é um polinômio de quarto grau, podemos tentar encontrar suas raízes. Testando com x = 2 :
2^4 - 5 times 2 - 6 = 16 - 10 - 6 = 0
Então, x - 2 é um fator do numerador. Vamos realizar a divisão polinomial ou usar a fatoração por tentativa e erro para encontrar os outros fatores. Simplificando, obtemos:
x^4 - 5x - 6 = (x - 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 3)
Agora, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 - 4x - 4 . Testando novamente x = 2 :
2^3 + 2^2 - 4 times 2 - 4 = 8 + 4 - 8 - 4 = 0
Então, x - 2 também é um fator do denominador. Fatorando, temos:
x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x - 2)(x^2 + 3x + 2)

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos simplificar a expressão:
(x - 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 3)(x - 2)(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 2x^2 + 4x + 3x^2 + 3x + 2
Percebemos que o fator x - 2 foi cancelado, eliminando a forma indeterminada.

Passo 5

Vamos agora simplificar o denominador x^2 + 3x + 2 :
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
E verificar se o numerador pode ser fatorado:
x^3 + 2x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x^2 + x + 3)
Então, temos:
(x + 1)(x^2 + x + 3)(x + 1)(x + 2) = x^2 + x + 3x + 2
Mais uma vez, podemos cancelar o fator x + 1 , desde que x neq -1 .

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = 2 :
lim x 2 x^2 + x + 3x + 2 = 2^2 + 2 + 32 + 2 = 4 + 2 + 34 = 94

Resposta

lim x 2 x^4-5x-6x^3+x^2-4x-4 = 94

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