Questão 02: ( 1,5 ponto) Determinar todos os intervalos de ntimeros reuis que satisfuyam a desigualdade a seguir.
x-1x^2+5 x+6 <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade: x-1x^2+5 x+6 <= 0. O conteúdo aqui é desigualdades racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal e analisar em quais intervalos a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 5x + 6. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3. Então:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Passo 3

Agora, identificamos os pontos que fazem o numerador ou o denominador zero, pois são eles que podem mudar o sinal da fração.
  • Numerador: x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
  • Denominador: x + 2 = 0 Rightarrow x = -2 e x + 3 = 0 Rightarrow x = -3
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar separadamente.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos x = -3, x = -2 e x = 1. Para isso, escolhemos um número dentro de cada intervalo e verificamos o sinal do numerador e do denominador.
  1. Intervalo (-∞, -3):
    • Escolha x = -4
    • Numerador: -4 - 1 = -5 (negativo)
    • Denominador: (-4 + 2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2 (positivo)
    • Fração: negativo / positivo = negativo
  2. Intervalo (-3, -2):
    • Escolha x = -2,5
    • Numerador: -2,5 - 1 = -3,5 (negativo)
    • Denominador: (-2,5 + 2)(-2,5 + 3) = (-0,5)(0,5) = -0,25 (negativo)
    • Fração: negativo / negativo = positivo
  3. Intervalo (-2, 1):
    • Escolha x = 0
    • Numerador: 0 - 1 = -1 (negativo)
    • Denominador: (0 + 2)(0 + 3) = 2 * 3 = 6 (positivo)
    • Fração: negativo / positivo = negativo
  4. Intervalo (1, +∞):
    • Escolha x = 2
    • Numerador: 2 - 1 = 1 (positivo)
    • Denominador: (2 + 2)(2 + 3) = 4 * 5 = 20 (positivo)
    • Fração: positivo / positivo = positivo

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar onde x-1(x+2)(x+3) <= 0, ou seja, onde a fração é negativa ou igual a zero. Observando os sinais:
  • Negativa em (-∞, -3) e (-2, 1)
  • Zero quando o numerador é zero, ou seja, em x = 1
Não incluímos x = -2 e x = -3 porque o denominador não pode ser zero (a fração não está definida nesses pontos).

Resposta

A solução da desigualdade é x in (-infty, -3) cup (-2, 1].

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