Questão 02: ( 1,5 ponto) Determinar todos os intervalos de ntimeros reuis que satisfuyam a desigualdade a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade:
. O conteúdo aqui é desigualdades racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal e analisar em quais intervalos a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3. Então:
Passo 3
Agora, identificamos os pontos que fazem o numerador ou o denominador zero, pois são eles que podem mudar o sinal da fração.
- Numerador:
- Denominador:
e
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar separadamente.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos x = -3, x = -2 e x = 1. Para isso, escolhemos um número dentro de cada intervalo e verificamos o sinal do numerador e do denominador.
-
Intervalo (-∞, -3):
- Escolha x = -4
- Numerador: -4 - 1 = -5 (negativo)
- Denominador: (-4 + 2)(-4 + 3) = (-2)(-1) = 2 (positivo)
- Fração: negativo / positivo = negativo
-
Intervalo (-3, -2):
- Escolha x = -2,5
- Numerador: -2,5 - 1 = -3,5 (negativo)
- Denominador: (-2,5 + 2)(-2,5 + 3) = (-0,5)(0,5) = -0,25 (negativo)
- Fração: negativo / negativo = positivo
-
Intervalo (-2, 1):
- Escolha x = 0
- Numerador: 0 - 1 = -1 (negativo)
- Denominador: (0 + 2)(0 + 3) = 2 * 3 = 6 (positivo)
- Fração: negativo / positivo = negativo
-
Intervalo (1, +∞):
- Escolha x = 2
- Numerador: 2 - 1 = 1 (positivo)
- Denominador: (2 + 2)(2 + 3) = 4 * 5 = 20 (positivo)
- Fração: positivo / positivo = positivo
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar onde
, ou seja, onde a fração é negativa ou igual a zero. Observando os sinais:
- Negativa em (-∞, -3) e (-2, 1)
- Zero quando o numerador é zero, ou seja, em x = 1
Não incluímos x = -2 e x = -3 porque o denominador não pode ser zero (a fração não está definida nesses pontos).
Resposta
A solução da desigualdade é
.