Estude os sinais das seguintes funções::
f(x)=e^x5+x

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar onde a função f(x)=\frac{e^{x}}{5+x} é positiva, negativa ou indefinida. O conteúdo é estudo de sinal de função (neste caso uma mistura de exponencial com racional). Para resolver vamos precisar identificar o domínio, os zeros do numerador e do denominador e analisar o sinal de cada parte.

Passo 2

A função está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Como e^{x} está sempre definido, basta evitar 5+x=0.
5+xneq0
Logo o domínio é
D=Rsetminus-5

Passo 3

Para achar possíveis zeros de f(x) usamos a condição f(x)=0. Isso dá
e^x5+x=0
Como e^{x}>0 para todo x, não há solução para a igualdade. Ou seja, não existem zeros (root) da função.

Passo 4

Agora vamos ver o sinal de cada parte. O numerador e^{x} é sempre positivo. O denominador 5+x muda de sinal em x=-5:
  • Se x>-5, então 5+x>0.
  • Se x<-5, então 5+x<0.

Passo 5

Como f(x) é o quociente de numerador sempre positivo por um denominador que muda de sinal em x=-5, concluímos:
  • Para x>-5, f(x)>0.
  • Para x<-5, f(x)<0.
    Em x=-5 a função não existe (vertical asymptote).

Resposta

f(x)<0 em (-\infty,-5) e f(x)>0 em (-5,\infty); não há zeros e x=-5 é ponto de descontinuidade (assíntota vertical).

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