Estude o sinal de cada uma das seguintes expressões:
x+21-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para estudar o sinal da expressão x+21-2x. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente na parte de Análise de Sinais. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de x que fazem o numerador e o denominador da fração serem positivos ou negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o numerador x + 2 é igual a zero. Isso acontece quando:
x + 2 = 0 implies x = -2
Isso significa que em x = -2, o numerador muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para o denominador 1 - 2x. Encontramos onde ele é igual a zero:
1 - 2x = 0 implies 2x = 1 implies x = 12
Então, em x = 12, o denominador muda de sinal. Além disso, em x = 12, a expressão está indefinida, pois não podemos dividir por zero.

Passo 4

Com esses pontos críticos ( x = -2 e x = 12), vamos dividir a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da expressão em cada um:
  1. x < -2
  2. -2 < x < 12
  3. x > 12

Passo 5

Vamos avaliar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo:
  1. Para x < -2:
    • Numerador x + 2: negativo (porque x é menor que -2)
    • Denominador 1 - 2x: positivo (porque x menor que -2, então -2x é positivo e maior que 1)
    Resultado: Expressão negativa
  2. Para -2 < x < 12:
    • Numerador x + 2: positivo (porque x > -2)
    • Denominador 1 - 2x: positivo (porque x < 12, então 1 - 2x > 0)
    Resultado: Expressão positiva
  3. Para x > 12:
    • Numerador x + 2: positivo (porque x > -2)
    • Denominador 1 - 2x: negativo (porque x > 12, então 1 - 2x < 0)
    Resultado: Expressão negativa

Resposta

A expressão x+21-2x é negativa para x < -2 e para x > 12, e positiva para -2 < x < 12.

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