Resolva as seguintes inequações:
x(x^2-2)x^2-1<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x,(x^2-2)x^2-1<0
O conteúdo aqui é análise de sinal em frações: vamos identificar zeros e assíntotas verticais, fatorar numerador e denominador e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio exigindo x^2-1neq0, ou seja
xneqpm1
Em seguida fatoramos numerador e denominador:
x,(x^2-2)x^2-1 =x,(x-raiz2)(x+raiz2)(x-1)(x+1)

Passo 3

Os pontos críticos são as raízes do numerador ( x=0,pmraiz2) e do denominador ( x=pm1). Ordenando no eixo real:
-infty<-raiz2<-1<0<1<raiz2<+infty
Agora, em cada intervalo escolhemos um valor teste e avaliamos o sinal de cada fator em
dfracx,(x-raiz2)(x+raiz2)(x-1)(x+1):
– Em (-infty,-raiz2), tomo x=-2: numerador =!(-2)cdot(+)cdot(-)=(-), denominador =(+), fração <0.
– Em (-raiz2,-1), tomo x=-1,2: numerador =!(-)cdot(-)cdot(+)=+, denominador =(+), fração >0.
– Em (-1,0), tomo x=-0,5: numerador =!(-)cdot(-)cdot(+)=+, denominador =(-), fração <0.
– Em (0,1), tomo x=0,5: numerador =!(+)cdot(-)cdot(+)=(-), denominador =(-), fração >0.
– Em (1,raiz2), tomo x=1,2: numerador =!(+)cdot(-)cdot(+)=(-), denominador =(+), fração <0.
– Em (raiz2,+infty), tomo x=2: numerador =!(+)cdot(+)cdot(+)=+, denominador =(+), fração >0.

Passo 4

Queremos os trechos onde a fração é negativa. Além disso, em x=0,pmraiz2 o numerador anula e dá zero (não <0), e em x=pm1 não está no domínio. Logo a solução é
(-infty,-raiz2);cup;(-1,0);cup;(1,raiz2)

Resposta

(-infty,-raiz2);cup;(-1,0);cup;(1,raiz2)

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