Estude o sinal das expressões
-x(x+2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar o sinal da expressão -x(x+2). Isso faz parte da matéria de funções polinomiais e análise de sinais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão, identificar os zeros (onde a expressão é igual a zero) e analisar os intervalos entre esses pontos para determinar onde a expressão é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar a expressão para facilitar a análise. A expressão dada é -x(x+2). Podemos deixar assim mesmo ou distribuir o sinal negativo:
- x(x + 2) = -x^2 - 2x
Mas para estudar o sinal, é melhor manter a forma fatorada -x(x + 2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x que tornam a expressão igual a zero. Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
- x = 0 implies x = 0
x + 2 = 0 implies x = -2
Então, os zeros da expressão são x = -2 e x = 0.

Passo 4

Esses zeros dividem a reta numérica em três intervalos:
  1. x < -2
  2. -2 < x < 0
  3. x > 0
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 5

Escolhemos um valor de x dentro de cada intervalo e substituímos na expressão -x(x + 2) para ver o sinal.
  1. Para x < -2, vamos escolher x = -3:
-(-3)(-3 + 2) = -(-3)(-1) = -3 times -1 = 3 > 0
Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
  1. Para -2 < x < 0, vamos escolher x = -1:
-(-1)(-1 + 2) = -(-1)(1) = -(-1) times 1 = 1 > 0
A expressão também é positiva nesse intervalo.
  1. Para x > 0, vamos escolher x = 1:
-(1)(1 + 2) = -(1)(3) = -3 < 0
Aqui, a expressão é negativa.

Passo 6

Resumindo os resultados:
  • Para x < -2, -x(x + 2) > 0
  • Para -2 < x < 0, -x(x + 2) > 0
  • Para x > 0, -x(x + 2) < 0
Nos pontos x = -2 e x = 0, a expressão é igual a zero.

Resposta

A expressão -x(x + 2) é positiva para todos os valores de x menores que 0 e negativa para x maiores que 0. Ou seja:
  • Para x < 0, -x(x + 2) > 0
  • Para x > 0, -x(x + 2) < 0
  • Em x = -2 e x = 0, -x(x + 2) = 0

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