Estude o sinal das expressões
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar o sinal da expressão
. Isso faz parte da matéria de funções polinomiais e análise de sinais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão, identificar os zeros (onde a expressão é igual a zero) e analisar os intervalos entre esses pontos para determinar onde a expressão é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar a expressão para facilitar a análise. A expressão dada é
. Podemos deixar assim mesmo ou distribuir o sinal negativo:
Mas para estudar o sinal, é melhor manter a forma fatorada
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam a expressão igual a zero. Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
Então, os zeros da expressão são
e
.
Passo 4
Esses zeros dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.
Passo 5
Escolhemos um valor de
dentro de cada intervalo e substituímos na expressão
para ver o sinal.
- Para
, vamos escolher :
Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
- Para
, vamos escolher :
A expressão também é positiva nesse intervalo.
- Para
, vamos escolher :
Aqui, a expressão é negativa.
Passo 6
Resumindo os resultados:
- Para
, - Para
, - Para
,
Nos pontos
e
, a expressão é igual a zero.
Resposta
A expressão
é positiva para todos os valores de
menores que
e negativa para
maiores que
. Ou seja:
- Para
, - Para
, - Em
e ,