Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(x-y, y+x) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.
Calcule a circulação ointC F cdot T d s;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (x - y, y + x) e uma curva alpha(t) = (cos(t), sin(t)) que descreve um círculo unitário. A questão pede para calcular a circulação dessa campo ao redor da curva, ou seja, ointC F cdot T , ds .
Nesse problema, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha em torno de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva. Além disso, vamos trabalhar com parametrização de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação é basicamente medir o quanto o campo vetorial está “girando” ao redor da curva. Matematicamente, é representada por ointC F cdot T , ds , onde T é o vetor tangente à curva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos facilita a vida transformando essa integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz:
ointC F cdot T , ds = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde F = (P, Q) . No nosso caso, P = x - y e Q = y + x .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(y + x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x - y) = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, a integral dupla fica bem simples:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral duplaD , dA
Aqui, integral duplaD , dA representa a área da região D delimitada pela curva C .

Passo 6

Sabemos que a curva alpha(t) = (cos(t), sin(t)) descreve um círculo unitário, ou seja, um círculo com raio 1. A área de um círculo é pi r^2 , então a área D é:
Área = pi (1)^2 = pi Á

Passo 7

Substituindo a área na integral dupla:
2 integral duplaD , dA = 2 times pi = 2pi

Resposta

A circulação ointC F cdot T , ds é igual a 2pi .

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