Seja dado o campo vetorial
ao redor e através da curva a seguir
.
Calcule a circulação
;
Calcule a circulação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que descreve um círculo unitário. A questão pede para calcular a circulação dessa campo ao redor da curva, ou seja,
.
Nesse problema, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha em torno de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva. Além disso, vamos trabalhar com parametrização de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação é basicamente medir o quanto o campo vetorial está “girando” ao redor da curva. Matematicamente, é representada por
, onde
é o vetor tangente à curva.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos facilita a vida transformando essa integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica bem simples:
Aqui,
representa a área da região
delimitada pela curva
.
Passo 6
Sabemos que a curva
descreve um círculo unitário, ou seja, um círculo com raio 1. A área de um círculo é
, então a área
é:
Passo 7
Substituindo a área na integral dupla:
Resposta
A circulação
é igual a
.