Estude o sinal das expressões
(x+1)(x-1)(x-2)

Passo 1

O enunciado pede o estudo de sinal da expressão
f(x) = (x+1),(x-1),(x-2)
Isso envolve encontrar onde f(x)=0 (raízes do polinômio) e determinar o sinal de cada fator em cada intervalo para saber onde o produto é positivo ou negativo.

Passo 2

Identificamos as raízes isolando cada fator:
(x+1)=0 x=-1,
(x-1)=0 x=1,
(x-2)=0 x=2.
Logo, os pontos críticos são x=-1, x=1 e x=2.

Passo 3

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelas raízes. Como são raízes simples, o sinal de f(x) muda ao passar por cada uma delas.
Para um valor genérico em cada intervalo:
  1. Em ;x<-1; (por exemplo x=-2):
    (x+1)<0, (x-1)<0, (x-2)<0.
  2. Em -1<x<1 (por exemplo x=0):
    (x+1)>0, (x-1)<0, (x-2)<0.
  3. Em 1<x<2 (por exemplo x=1,5):
    (x+1)>0, (x-1)>0, (x-2)<0.
  4. Em x>2 (por exemplo x=3):
    (x+1)>0, (x-1)>0, (x-2)>0.

Passo 4

Agora o produto de três sinais em cada intervalo:
  • Para x<-1: (-)times(-)times(-)=(-).
  • Para -1<x<1: (+)times(-)times(-)=(+).
  • Para 1<x<2: (+)times(+)times(-)=(-).
  • Para x>2: (+)times(+)times(+)= (+).

Resposta

f(x)=(x+1)(x-1)(x-2) é
<0, & xin(-infty,-1)cup(1,2), =0, & x=-1,1,2, >0, & xin(-1,1)cup(2,infty)

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