Estude o sinal das expressões
(x+5)^16(x+2)

Passo 1

O enunciado pede o estudo de sinais da função
f(x) = (x+5)^16(x+2)
O conteúdo envolvido é análise de sinais de produtos de fatores. Para resolver, vamos identificar as raízes (pontos onde f(x)=0), suas multiplicidades e usar o fato de que raízes de multiplicidade par não mudam o sinal da função, enquanto raízes de multiplicidade ímpar mudam.

Passo 2

Determinar as raízes e multiplicidades:
x+5=0 implies x=-5,mu<iplicidade 16 (par);
x+2=0 implies x=-2,mu<iplicidade 1 (ímpar) í

Passo 3

Analisar o efeito das multiplicidades no sinal:
  • Para uma raiz de multiplicidade par (aqui x=-5), a função toca o eixo e volta sem mudar de sinal.
  • Para raiz de multiplicidade ímpar (aqui x=-2), a função cruza o eixo e muda de sinal.

Passo 4

Observar o sinal de cada fator nos intervalos determinados pelas raízes:
1. Para x<-5:
(x+5)^16>0 (expoente par) e x+2<0 Rightarrow f(x)<0.
2. Para -5<x<-2:
(x+5)^16>0 e x+2<0 Rightarrow f(x)<0.
Note que em x=-5 temos zero, mas o sinal antes e depois continua negativo.
3. Para x>-2:
(x+5)^16>0 e x+2>0 Rightarrow f(x)>0.
Em x=-2 a função anula e, por ser raiz ímpar, o sinal muda de negativo para positivo.

Resposta

Para a função ,f(x)=(x+5)^16(x+2):
  • f(x)<0 em (-infty,-2),
  • f(x)=0 em x=-5 (mult. 16) e em x=-2 (mult. 1),
  • f(x)>0 em (-2,infty).

Exercícios relacionados