Simplifique e faça o estudo de sinal:
x^2-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expressão x^2-1x-1. O que a gente precisa aqui é simplificar essa fração e depois analisar onde essa expressão é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco de fatoração de polinômios e de como analisar sinais de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^2-1x-1. Perceba que o numerador x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
(x - 1)(x + 1)x - 1

Passo 3

Agora, veja que temos (x - 1) no numerador e no denominador. Desde que x - 1 neq 0 (ou seja, x neq 1), podemos cancelar esses termos:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 para x neq 1
Então, a expressão simplificada é x + 1, mas lembrando que x não pode ser igual a 1 porque aí teríamos divisão por zero.

Passo 4

Agora vamos fazer o estudo de sinal da expressão simplificada x + 1. Para isso, vamos analisar onde x + 1 é positivo, negativo ou zero.
Primeiro, encontramos o ponto onde x + 1 = 0:
x + 1 = 0 implies x = -1
Esse é o ponto que divide o gráfico em duas partes.

Passo 5

Vamos analisar dois intervalos:
  1. Para x < -1:
    • Se escolhermos, por exemplo, x = -2, temos:
-2 + 1 = -1 (negativo)
  1. Para x > -1:
    • Se escolhermos, por exemplo, x = 0, temos:
0 + 1 = 1 (positivo)

Passo 6

Além disso, lembrando que x neq 1, já que a expressão original não está definida nesse ponto. Portanto, temos que considerar esse ponto na análise de sinal.

Resposta

A expressão simplificada é x + 1. O estudo de sinal fica assim:
  • Para x < -1, x + 1 é negativo.
  • Para -1 < x < 1, x + 1 é positivo.
  • Para x > 1, x + 1 é positivo.
E a expressão não está definida em x = 1.

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