Simplifique e faça o estudo de sinal:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expressão . O que a gente precisa aqui é simplificar essa fração e depois analisar onde essa expressão é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco de fatoração de polinômios e de como analisar sinais de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Perceba que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, veja que temos no numerador e no denominador. Desde que (ou seja, ), podemos cancelar esses termos:
Então, a expressão simplificada é , mas lembrando que não pode ser igual a 1 porque aí teríamos divisão por zero.

Passo 4

Agora vamos fazer o estudo de sinal da expressão simplificada . Para isso, vamos analisar onde é positivo, negativo ou zero.
Primeiro, encontramos o ponto onde :
Esse é o ponto que divide o gráfico em duas partes.

Passo 5

Vamos analisar dois intervalos:
  1. Para :
    • Se escolhermos, por exemplo, , temos:
  1. Para :
    • Se escolhermos, por exemplo, , temos:

Passo 6

Além disso, lembrando que , já que a expressão original não está definida nesse ponto. Portanto, temos que considerar esse ponto na análise de sinal.

Resposta

A expressão simplificada é . O estudo de sinal fica assim:
  • Para , é negativo.
  • Para , é positivo.
  • Para , é positivo.
E a expressão não está definida em .

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