Simplifique e faça o estudo de sinal:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a expressão
. O que a gente precisa aqui é simplificar essa fração e depois analisar onde essa expressão é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco de fatoração de polinômios e de como analisar sinais de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Perceba que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, veja que temos
no numerador e no denominador. Desde que
(ou seja,
), podemos cancelar esses termos:
Então, a expressão simplificada é
, mas lembrando que
não pode ser igual a 1 porque aí teríamos divisão por zero.
Passo 4
Agora vamos fazer o estudo de sinal da expressão simplificada
. Para isso, vamos analisar onde
é positivo, negativo ou zero.
Primeiro, encontramos o ponto onde
:
Esse é o ponto que divide o gráfico em duas partes.
Passo 5
Vamos analisar dois intervalos:
- Para
: - Se escolhermos, por exemplo,
, temos:
- Se escolhermos, por exemplo,
- Para
: - Se escolhermos, por exemplo,
, temos:
- Se escolhermos, por exemplo,
Passo 6
Além disso, lembrando que
, já que a expressão original não está definida nesse ponto. Portanto, temos que considerar esse ponto na análise de sinal.
Resposta
A expressão simplificada é
. O estudo de sinal fica assim:
- Para
, é negativo. - Para
, é positivo. - Para
, é positivo.
E a expressão não está definida em
.