Seja f a função definida por f(x)=arctan (x)+arctan 1x.
a. Calcular o dominio de f.
b. Estudar a paridade de f.
c. Calcular a derivada de f.
d. O que podemos deduzir sobre a funçao f ?

Passo 1

No enunciado temos a função
f(x)=arctan(x)+arctanl(1xr)
Isso cai em matéria de funções trigonométricas inversas: vamos precisar do domínio do arctan, da identidade arctan(-u)=-arctan(u), da regra da cadeia para derivar arctanl(1/xr) e, por fim, usar limites ou avaliação em pontos para descobrir valores constantes.

Passo 2

O domínio de f vem de exigir que ambos arctan(x) e arctan(1/x) estejam definidos. Sabemos que arctan(u) é definida para todo uinR, mas é preciso xneq0 para o termo arctan(1/x). Logo
Dom(f)=Rsetminus0

Passo 3

Para estudar a paridade, calculamos
f(-x)=arctan(-x)+arctanl(tfrac1-xr)=-arctan(x)-arctanl(tfrac1xr)=-f(x)
Como f(-x)=-f(x), concluímos que f é ímpar.

Passo 4

Agora vamos derivar. Temos
ddx[arctan(x)]=11+x^2,
e usando a regra da cadeia em arctan(1/x): seja u=1/x, então
ddx[arctan(u)]=u'1+u^2= rac-1/x^21+1/x^2=-11+x^2
Somando dá
f'(x)=11+x^2-11+x^2=0
para todo xneq0.

Passo 5

Como f'(x)=0 em cada intervalo do domínio, isso indica que f é constante em (0,infty) e em x>0. Para descobrir o valor da constante, basta avaliar em um ponto ou usar limites. Em particular, para limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(arctan(x)+arctan(1/x)r)=tfracpi2+0=tfracpi2, temos
x<0
e para limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(arctan(x)+arctan(1/x)r)=-tfracpi2+0=-tfracpi2
f(x)=tfracpi2,&x>0,-tfracpi2,&x<0
Logo

Resposta

a) Dom(f)=Rsetminus0 b) f é ímpar. c) f'(x)=0 para todo xneq0. d) Concluímos que f é constante em cada ramo do domínio, valendo pi/2 se x>0 e -pi/2 se x<0.

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