Seja
a função definida por
.
a. Calcular o dominio de
.
b. Estudar a paridade de
.
c. Calcular a derivada de
.
d. O que podemos deduzir sobre a funçao
?
a. Calcular o dominio de
b. Estudar a paridade de
c. Calcular a derivada de
d. O que podemos deduzir sobre a funçao
Passo 1
No enunciado temos a função
Isso cai em matéria de funções trigonométricas inversas: vamos precisar do domínio do
, da identidade
, da regra da cadeia para derivar
e, por fim, usar limites ou avaliação em pontos para descobrir valores constantes.
Passo 2
O domínio de
vem de exigir que ambos
e
estejam definidos. Sabemos que
é definida para todo
, mas é preciso
para o termo
. Logo
Passo 3
Para estudar a paridade, calculamos
Como
, concluímos que
é ímpar.
Passo 4
Agora vamos derivar. Temos
e usando a regra da cadeia em
: seja
, então
Somando dá
para todo
.
Passo 5
Como
em cada intervalo do domínio, isso indica que
é constante em
e em
. Para descobrir o valor da constante, basta avaliar em um ponto ou usar limites. Em particular, para
temos
e para
Logo
Resposta
a)
b)
é ímpar. c)
para todo
. d) Concluímos que
é constante em cada ramo do domínio, valendo
se
e
se
.