Sejam dois círculos e , de raio 1 que se tangenciam em um ponto . Sejam uma reta tangente em comum a e a o círculo que tangencia e o círculo que tangencia e o circulo que tangencia e e, em geral, o círculo que tangencia e , para . Encontre uma expressão para o diâmetro de , mostre que é convergente e calcule a sua soma.
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos dois círculos de raio 1, C e D, tangenciando-se em P, e uma reta T tangente a ambos. Define-se C₁ como o círculo que tangencia T, C e D, e para n>1, Cₙ é o círculo que tangencia Cₙ₋₁, C e D. Nosso plano é usar o Teorema de Descartes para obter a curvatura (inverso do raio) de cada Cₙ e, assim, deduzir o diâmetro; em seguida reconhecer que a série ∑ₙ1/(n(n+1)) é telescópica e calcular sua soma.
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Logo o raio de C₁ é r₁=1/4 e o diâmetro d₁=2r₁=1/2, que coincide com 1/(1·2).
Passo 3
Para n>1, usamos que C e D têm k=1 e Cₙ₋₁ tem k_{n-1}. Pelo Teorema de Descartes:
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Mostra-se por indução que kₙ = 2n(n+1). De fato, para n=1 já vimos k₁=4=2·1·2; e, supondo k_{n-1}=2(n-1)n, temos 2k_{n-1}+1=(2n-1)² e então kₙ = 2(n-1)n + 2 + 2(2n-1) = 2n(n+1). Logo rₙ=1/kₙ=1/[2n(n+1)] e o diâmetro
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Passo 4
A série ∑_{n=1}^∞ dₙ = ∑_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) é telescópica, pois
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Portanto a série converge e sua soma é 1.
Resposta
O diâmetro de Cₙ é 1n(n+1) e sumn=1^infty 1n(n+1) = 1.