Sejam dois círculos C e D, de raio 1 que se tangenciam em um ponto P. Sejam T uma reta tangente em comum a C e a D, C1 o círculo que tangencia T, C e D, C2 o círculo que tangencia C1, C e D, C3 o circulo que tangencia C2, C e D e, em geral, Cn o círculo que tangencia Cn-1, C e D, para n>1. Encontre uma expressão para o diâmetro de Cn, mostre que sumn=1^+infty 1n(n+1) é convergente e calcule a sua soma.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos dois círculos de raio 1, C e D, tangenciando-se em P, e uma reta T tangente a ambos. Define-se C₁ como o círculo que tangencia T, C e D, e para n>1, Cₙ é o círculo que tangencia Cₙ₋₁, C e D. Nosso plano é usar o Teorema de Descartes para obter a curvatura (inverso do raio) de cada Cₙ e, assim, deduzir o diâmetro; em seguida reconhecer que a série ∑ₙ1/(n(n+1)) é telescópica e calcular sua soma.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Descartes para C₁, onde as três «curvaturas» são k₁=0 (reta T), k₂=1 © e k₃=1 (D). O quarto círculo tem curvatura k₄ dada por:
[ k₄ = k₁ + k₂ + k₃ + 2raizk₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁ = 0 + 1 + 1 + 2raiz0 + 1 + 0 = 4
]
Logo o raio de C₁ é r₁=1/4 e o diâmetro d₁=2r₁=1/2, que coincide com 1/(1·2).

Passo 3

Para n>1, usamos que C e D têm k=1 e Cₙ₋₁ tem k_{n-1}. Pelo Teorema de Descartes:
[ kₙ = kn-1 + 1 + 1 + 2raizkn-1·1 + 1·1 + 1·kn-1 = kn-1 + 2 + 2raiz2kn-1 + 1
]
Mostra-se por indução que kₙ = 2n(n+1). De fato, para n=1 já vimos k₁=4=2·1·2; e, supondo k_{n-1}=2(n-1)n, temos 2k_{n-1}+1=(2n-1)² e então kₙ = 2(n-1)n + 2 + 2(2n-1) = 2n(n+1). Logo rₙ=1/kₙ=1/[2n(n+1)] e o diâmetro
[ dₙ = 2rₙ = 1n(n+1)
]

Passo 4

A série ∑_{n=1}^∞ dₙ = ∑_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) é telescópica, pois
[ sumn=1^N 1n(n+1) = sumn=1^N l(1n - 1n+1r) = 1 - 1N+1 xrightarrowNtoinfty 1
]
Portanto a série converge e sua soma é 1.

Resposta

O diâmetro de Cₙ é 1n(n+1) e sumn=1^infty 1n(n+1) = 1.

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