Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
Passo 1
A questão pede para estudar o sinal da função
e encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento via o sinal de
. Vamos precisar achar zeros de
e de
, entender multiplicidade de raízes e testar sinais nos intervalos.
Passo 2
Começo encontrando os zeros de
. Igualo
, o que dá as raízes:
Passo 3
Para estudar o sinal de
, observo que
para todo
e que o fator
é negativo quando
e positivo quando
. Logo:
- Em
, e , então , exceto em onde mas sem troca de sinal. - Em
, e , então .
Eme temos .
Passo 4
Agora calculo a derivada para ver crescimento e decrescimento:
Passo 5
Estudo o sinal de
em três intervalos:
- Para
: e ⇒ . Crescente em . - Para
: e ⇒ . Decrescente em . - Para
: e ⇒ . Crescente em .
Daí decorre que há um máximo local eme um mínimo local em .
Passo 6
Com essas informações podemos esboçar o gráfico: a função vem de
crescendo até
, depois decresce até
e a seguir cresce até
, cruzando o eixo em
.
Resposta
Sinal de y: y<0 em (-∞,1), y=0 em x=0 (raiz dupla) e x=1, y>0 em (1,∞). Crescimento: y cresce em (-∞,0) ∪ (2/3,∞); decresce em (0,2/3).