Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
y=x^2(x-1)

Passo 1

A questão pede para estudar o sinal da função y=x^2(x-1) e encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento via o sinal de y'. Vamos precisar achar zeros de y e de y', entender multiplicidade de raízes e testar sinais nos intervalos.

Passo 2

Começo encontrando os zeros de y. Igualo x^2(x-1)=0, o que dá as raízes:
x^2=0implies x=0 (mu
x-1=0implies x=1 (muA multiplicidade par em x=0 indica que o sinal da função não muda ao passar por 0, e em x=1 com multiplicidade ímpar há troca de sinal.

Passo 3

Para estudar o sinal de y, observo que x^2>=0 para todo x e que o fator (x-1) é negativo quando x<1 e positivo quando x>1. Logo:
  • Em (-infty,1), x^2>0 e x-1<0, então y<0, exceto em x=0 onde y=0 mas sem troca de sinal.
  • Em (1,infty), x^2>0 e x-1>0, então y>0.
    Em x=0 e x=1 temos y=0.

Passo 4

Agora calculo a derivada para ver crescimento e decrescimento:
y= x^2(x-1)= x^3 - x^2,
y' = 3x^2 - 2x = x(3x-2) As raízes de y' são x=0 e x=2/3, ambas de multiplicidade 1, indicando troca de sinal em cada ponto.

Passo 5

Estudo o sinal de y' em três intervalos:
  • Para x<0: x<0 e 3x-2<0 y'=x(3x-2)>0. Crescente em (-infty,0).
  • Para 0: x>0 e 3x-2<0 y'<0. Decrescente em (0,2/3).
  • Para x>2/3: x>0 e 3x-2>0 y'>0. Crescente em (2/3,infty).
    Daí decorre que há um máximo local em (0,0) e um mínimo local em .

Passo 6

Com essas informações podemos esboçar o gráfico: a função vem de yto-infty crescendo até (0,0), depois decresce até (2/3,-4/27) e a seguir cresce até +infty, cruzando o eixo em x=1.

Resposta

Sinal de y: y<0 em (-∞,1), y=0 em x=0 (raiz dupla) e x=1, y>0 em (1,∞). Crescimento: y cresce em (-∞,0) ∪ (2/3,∞); decresce em (0,2/3).

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