Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através de
.
e
é a fronteira da região limitada pelo paraboloide
e por
.
Passo 1
Estamos aplicando o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através da superfície fechada
, que é a fronteira da região limitada por
e
. Vamos precisar do cálculo de divergência e de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Calculamos a divergência de
usando
. Assim,
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas (
), a região
é dada por
,
,
. O elemento de volume é
. Montamos a integral:
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Agora integramos em
e
:
Passo 6
Cálculo do integral em
:
Passo 7
Multiplicando por
obtemos o valor do fluxo: