Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=3 x i+x z j+z^2 k e S é a fronteira da região limitada pelo paraboloide z= 4-x^2-y^2 e por z=0.

Passo 1

Estamos aplicando o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F(x,y,z)=3x,i+xz,j+z^2,k através da superfície fechada S, que é a fronteira da região limitada por z=4-x^2-y^2 e z=0. Vamos precisar do cálculo de divergência e de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Calculamos a divergência de F usando nablacdotF=partialpartial x(3x)+partialpartial y(xz)+partialpartial z(z^2). Assim,
nablacdotF=3+0+2z=3+2z

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas ( x=rcostheta,y=rsintheta,z=z), a região V é dada por 0<= r<= 2, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=4-r^2. O elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta. Montamos a integral:
integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(3+2z),dV=integral0^2piintegral0^2integral0^4-r^2(3+2z),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^4-r^2(3+2z),dz=l[3z+z^2r]0^4-r^2=3(4-r^2)+(4-r^2)^2=28-11r^2+r^4

Passo 5

Agora integramos em r e theta:
integral0^2pidthetaintegral0^2(28-11r^2+r^4),r,dr=2piintegral0^2(28r-11r^3+r^5),dr

Passo 6

Cálculo do integral em r:
integral0^2(28r-11r^3+r^5),dr=l[14r^2-tfrac114r^4+tfrac16r^6r]0^2=683

Passo 7

Multiplicando por 2pi obtemos o valor do fluxo: 2picdottfrac683=tfrac136pi3

Resposta

136pi3

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