Estude os valores extremos da função sujeita a restrição dada.
(e) f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 sujeita a x^2 + 2y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores extremos da função sob a restrição . Isso envolve otimização com restrição, um tema da Cálculo Multivariável. Vamos precisar usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos dentro dessa restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores extremos de uma função com restrição. Basicamente, queremos saber quais valores de são os maiores e os menores possíveis quando e devem satisfazer .

Passo 3

Para resolver isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, nos pontos extremos, o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição . Isso nos dá o sistema de equações:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes de e :

Passo 5

Aplicando a condição , temos:

Passo 6

Vamos rearranjar a equação (1):

Passo 7

Agora, rearranjamos a equação (2):

Passo 8

Temos duas expressões para :
Igualando as duas:
Como (caso contrário, pela restrição, mas vamos verificar depois), podemos dividir ambos os lados por :

Passo 9

Vamos resolver para :

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:

Passo 11

Vamos considerar cada valor de para encontrar e .
Para :
Substituindo na restrição :
Então:
Para :
Substituindo na restrição :
Então:

Passo 12

Agora temos quatro pontos candidatos:

Passo 13

Vamos calcular o valor de em cada ponto para determinar quais são máximos e mínimos.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os valores extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo absoluto: nos pontos e .
  • Mínimo absoluto: nos pontos e .

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