Estude os valores extremos da função sujeita a restrição dada.
(e)
sujeita a
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores extremos da função
sob a restrição
. Isso envolve otimização com restrição, um tema da Cálculo Multivariável. Vamos precisar usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos dentro dessa restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores extremos de uma função com restrição. Basicamente, queremos saber quais valores de
são os maiores e os menores possíveis quando
e
devem satisfazer
.
Passo 3
Para resolver isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, nos pontos extremos, o gradiente da função
é paralelo ao gradiente da restrição
. Isso nos dá o sistema de equações:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes de
e
:
Passo 5
Aplicando a condição
, temos:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação (1):
Passo 7
Agora, rearranjamos a equação (2):
Passo 8
Temos duas expressões para
:
Igualando as duas:
Como
(caso contrário,
pela restrição, mas vamos verificar depois), podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 9
Vamos resolver para
:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Passo 11
Vamos considerar cada valor de
para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo na restrição
:
Então:
Para
:
Substituindo na restrição
:
Então:
Passo 12
Agora temos quatro pontos candidatos:
Passo 13
Vamos calcular o valor de
em cada ponto para determinar quais são máximos e mínimos.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os valores extremos da função
sujeitos à restrição
são:
-
Máximo absoluto:
nos pontos e . -
Mínimo absoluto:
nos pontos e .