Use os critérios vistos em sala para determinar se a série a seguir é convergente ou divergente.
sumn=1^infty e^-nn

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
sumn=1^inftye^-nn,
e pede para decidir se ela é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos positivos. Vamos usar o Teste de Comparação Direta com uma série geométrica.

Passo 2

Note que, para todo n>=1, temos
0<e^-nn<= e^-n,
pois n>=1 implica 1/n<=1. A série
sumn=1^inftye^-n
é uma série geométrica de razão r=e^-1, com lvert rrvert<1, logo ela converge.

Passo 3

Pelo Teste de Comparação Direta, como
0<= e^-nn<= e^-n
e sum e^-n converge, a série
sumn=1^inftye^-nn
converge também.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-nn é convergente.

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