Problema 15. Sendo
e
dois eventos de um mesmo espaço amostral, “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:
a) Pelo menos um dos eventos ocorre;
b) O evento A ocorre mas B não;
c) Nenhum deles ocorre;
d) Exatamente um dos eventos ocorre.
a) Pelo menos um dos eventos ocorre;
b) O evento A ocorre mas B não;
c) Nenhum deles ocorre;
d) Exatamente um dos eventos ocorre.
Passo 1
O enunciado dá dois eventos
e
em um mesmo espaço amostral (que vou chamar de
). Pede para “traduzir” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos as quatro situações abaixo:
a) “Pelo menos um dos eventos ocorre”;
b) “O evento ocorre mas
não”;
c) “Nenhum deles ocorre”;
d) “Exatamente um dos eventos ocorre”.
As informações relevantes que temos são apenas que e
são subconjuntos de
(eventos), e precisamos escrever cada enunciado usando operações de conjuntos (união, interseção, complemento, diferença, etc.).
a) “Pelo menos um dos eventos ocorre”;
b) “O evento
c) “Nenhum deles ocorre”;
d) “Exatamente um dos eventos ocorre”.
As informações relevantes que temos são apenas que
Passo 2
Vamos revisar, de forma bem simples, as operações básicas de conjuntos que vamos usar — cada definição vem com a explicação no contexto de eventos (é importante porque interpretar verbalmente os enunciados exige acostumar-se com essas palavras).
Definições:
- A união
) é o conjunto dos resultados em que ocorre
ou (ou ambos). Formalmente: se e só se ou . Pense: “ou” aqui é inclusivo (“pelo menos um”). - A interseção
) é o conjunto dos resultados em que ocorrem ambos
e . Ou seja, se e só se e . - O complemento de
, denotado ) ou ), é o conjunto dos resultados onde não ocorre. Formalmente: se e só se . - A diferença
) é o conjunto dos resultados onde
ocorre e não ocorre; formalmente ). Observação: ). - A diferença simétrica (ou “exatamente um”) costuma ser escrita
) e é o conjunto dos resultados em que ocorre exatamente um dos eventos, isto é
.
Passo 3
Mostro duas relações úteis que usaremos (são identidades simples de teoria de conjuntos).
- Relação diferença/interseção-complemento:
Explicação: um elemento está em
quando está em
e não está em
; isso é exatamente a definição de
.
- Leis de De Morgan (muito úteis para transformar “nenhum” em complemento de união):
Explicação: dizer “não (A ou B)” é o mesmo que “não A e não B”.
Passo 4
Tradução do item (a): “Pelo menos um dos eventos ocorre”.
Interpretação didática: “pelo menos um” significa “um ou outro ou ambos” — isto é a definição de união. Portanto a tradução é
Exemplo concreto (para fixar): se
,
,
, então
e representa os resultados em que pelo menos um dos eventos ocorre.
Passo 5
Tradução do item (b): “O evento
ocorre mas
não”.
Interpretação didática: queremos os resultados em que
acontece e simultaneamente
não acontece. Em linguagem de conjuntos isto é a diferença de
menos
, ou a interseção de
com o complemento de
. Assim
que é equivalemente escrito como
). Exemplo: com os conjuntos do passo anterior,
.
Passo 6
Tradução do item (c): “Nenhum deles ocorre”.
Interpretação didática: “nenhum” significa que nem
nem
ocorrem. Uma forma direta é dizer “não (A ou B)”, ou seja o complemento da união. Usando De Morgan obtemos a forma equivalente "não
e não
". Assim
Exemplo: com
e
anteriores,
e
, que são os resultados em que nenhum dos dois eventos ocorre.
Passo 7
Tradução do item (d): “Exatamente um dos eventos ocorre”.
Interpretação didática: “exatamente um” significa que ocorre
e não
, ou ocorre
e não
— mas não os dois ao mesmo tempo. Em conjuntos isso é a união das duas diferenças:
Essa expressão também pode ser escrita de outras formas equivalentes, por exemplo como a diferença entre a união e a interseção:
Ambas são equivalentes e representam a chamada diferença simétrica
. Exemplo: com
e
, temos
, que são os resultados em que ocorre exatamente um dos eventos.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)