Problema 15. Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral, “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:
a) Pelo menos um dos eventos ocorre;
b) O evento A ocorre mas B não;
c) Nenhum deles ocorre;
d) Exatamente um dos eventos ocorre.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B em um mesmo espaço amostral (que vou chamar de \Omega). Pede para “traduzir” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos as quatro situações abaixo:
a) “Pelo menos um dos eventos ocorre”;
b) “O evento A ocorre mas B não”;
c) “Nenhum deles ocorre”;
d) “Exatamente um dos eventos ocorre”.
As informações relevantes que temos são apenas que A e B são subconjuntos de \Omega (eventos), e precisamos escrever cada enunciado usando operações de conjuntos (união, interseção, complemento, diferença, etc.).

Passo 2

Vamos revisar, de forma bem simples, as operações básicas de conjuntos que vamos usar — cada definição vem com a explicação no contexto de eventos (é importante porque interpretar verbalmente os enunciados exige acostumar-se com essas palavras).
Definições:
  • A união \(A\cup B) é o conjunto dos resultados em que ocorre A ou B (ou ambos). Formalmente: \omega\in A\cup B se e só se \omega\in A ou \omega\in B. Pense: “ou” aqui é inclusivo (“pelo menos um”).
  • A interseção \(A\cap B) é o conjunto dos resultados em que ocorrem ambos A e B. Ou seja, \omega\in A\cap B se e só se \omega\in A e \omega\in B.
  • O complemento de A, denotado \(A^c) ou \(\Omega\setminus A), é o conjunto dos resultados onde A não ocorre. Formalmente: \omega\in A^c se e só se \omega\notin A.
  • A diferença \(A\setminus B) é o conjunto dos resultados onde A ocorre e B não ocorre; formalmente \(A\setminus B = \{\omega\in\Omega:\omega\in A\text{ e }\omega\notin B\}). Observação: \(A\setminus B = A\cap B^c).
  • A diferença simétrica (ou “exatamente um”) costuma ser escrita \(A\Delta B) e é o conjunto dos resultados em que ocorre exatamente um dos eventos, isto é (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c).

Passo 3

Mostro duas relações úteis que usaremos (são identidades simples de teoria de conjuntos).
  1. Relação diferença/interseção-complemento:
A\setminus B = A\cap B^c.
Explicação: um elemento está em A\setminus B quando está em A e não está em B; isso é exatamente a definição de A\cap B^c.
  1. Leis de De Morgan (muito úteis para transformar “nenhum” em complemento de união):
(A\cup B)^c = A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c = A^c\cup B^c.
Explicação: dizer “não (A ou B)” é o mesmo que “não A e não B”.

Passo 4

Tradução do item (a): “Pelo menos um dos eventos ocorre”.
Interpretação didática: “pelo menos um” significa “um ou outro ou ambos” — isto é a definição de união. Portanto a tradução é
\text{(a)}\quad A\cup B.
Exemplo concreto (para fixar): se \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, então A\cup B=\{1,2,3\} e representa os resultados em que pelo menos um dos eventos ocorre.

Passo 5

Tradução do item (b): “O evento A ocorre mas B não”.
Interpretação didática: queremos os resultados em que A acontece e simultaneamente B não acontece. Em linguagem de conjuntos isto é a diferença de A menos B, ou a interseção de A com o complemento de B. Assim
\text{(b)}\quad A\cap B^c
que é equivalemente escrito como \(A\setminus B). Exemplo: com os conjuntos do passo anterior, A\cap B^c=\{1\}.

Passo 6

Tradução do item (c): “Nenhum deles ocorre”.
Interpretação didática: “nenhum” significa que nem A nem B ocorrem. Uma forma direta é dizer “não (A ou B)”, ou seja o complemento da união. Usando De Morgan obtemos a forma equivalente "não A e não B". Assim
\text{\text{(c)}}\quad (A\cup B)^c = A^c\cap B^c.
Exemplo: com \Omega e A,B anteriores, A\cup B=\{1,2,3\} e (A\cup B)^c=\{4,5,6\}, que são os resultados em que nenhum dos dois eventos ocorre.

Passo 7

Tradução do item (d): “Exatamente um dos eventos ocorre”.
Interpretação didática: “exatamente um” significa que ocorre A e não B, ou ocorre B e não A — mas não os dois ao mesmo tempo. Em conjuntos isso é a união das duas diferenças:
\text{(d)}\quad (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c).
Essa expressão também pode ser escrita de outras formas equivalentes, por exemplo como a diferença entre a união e a interseção:
(A\cup B)\setminus(A\cap B).
Ambas são equivalentes e representam a chamada diferença simétrica A\Delta B. Exemplo: com A=\{1,2\} e B=\{2,3\}, temos (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)=\{1,3\}, que são os resultados em que ocorre exatamente um dos eventos.

Resposta

a) A\cup B
b) A\cap B^c
c) (A\cup B)^c = A^c\cap B^c
d) (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c) = (A\cup B)\setminus(A\cap B)

Exercícios relacionados