Um estudo afirma que 60 % das pessoas preferem pagar contas pelo celular. Uma pesquisa recente com 500 pessoas revelou que 310 delas têm essa preferência. Com um nível de significância de 5 %, teste a hipótese nula H 0: p=0.6 contra a hipótese alternativa Ha:p neq 0.6. (1,0)
Determine o valor crítico e conclua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve Teste de Hipótese sobre proporções. A gente vai verificar se a proporção de pessoas que preferem pagar contas pelo celular realmente é de 60%, ou se pode ser diferente disso. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre estatística inferencial, especialmente testes de proporção, e usar a distribuição normal para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) é a afirmação inicial que vamos supor ser verdadeira até provar o contrário. Já a hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos testar.
  • H0: p = 0.6 (A proporção real é 60%)
  • Ha: p neq 0.6 (A proporção real é diferente de 60%)

Passo 3

Agora, vamos calcular a Estatística de Teste. Para isso, usamos a fórmula do teste z para proporções:
z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada na amostra
  • p0 é a proporção na hipótese nula
  • n é o tamanho da amostra
Primeiro, calculamos p:
p = 310500 = 0.62
Agora, substituímos na fórmula:
z = 0.62 - 0.6raiz0.6 times 0.4500 = 0.02raiz0.24500 = 0.02raiz0.00048 approx 0.020.0219089 approx 0.913

Passo 4

Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5%. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é diferente, não apenas maior ou menor), precisamos dividir o nível de significância por 2 para cada cauda.
Usando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para 2.5% em cada cauda é aproximadamente z = pm1.96.

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado do z com os valores críticos:
-1.96 < 0.913 < 1.96
Como o nosso z calculado está entre os valores críticos, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, o valor crítico é z = pm1.96. Como o valor calculado z approx 0.913 está dentro desse intervalo, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de pessoas que preferem pagar contas pelo celular é diferente de 60% no nível de significância de 5%.

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