Um pesquisador deseja estimar a média de horas de estudo por semana dos estudantes universitários de uma grande universidade. Ele quer um nível de confiança de
e uma margem de erro de 2 horas. A variabilidade (desvio padrão) estimada é de 10 horas. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um pesquisador que quer descobrir, com 99% de confiança, quantas horas por semana, em média, os estudantes universitários estudam. Ele quer que a margem de erro seja de 2 horas e sabe que o desvio padrão é de 10 horas. Para isso, precisamos calcular o tamanho da amostra necessário. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente relacionados a intervalos de confiança e amostragem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a fórmula para calcular o tamanho da amostra quando queremos estimar uma média com uma certa margem de erro e nível de confiança. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor da tabela Z que corresponde ao nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão estimado da população.
- $ E $ é a margem de erro que o pesquisador está disposto a aceitar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 99%. Esse valor é encontrado em tabelas de distribuição normal padrão (tabela Z). Para 99% de confiança, o valor de $ Z $ é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Aqui:
- $ Z = 2,576 $
- $ \sigma = 10 $ horas
- $ E = 2 $ horas
Passo 5
Calculando o numerador primeiro:
Depois, dividimos pelo erro:
Passo 6
Agora, elevamos ao quadrado:
Passo 7
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Então:
Resposta
O pesquisador precisa de uma amostra de 166 estudantes para estimar a média de horas de estudo por semana com 99% de confiança e uma margem de erro de 2 horas.